Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão
V=integral0^2 pi integral0^pi3 integral1^2 rho^2 sin phi d rho d phi d theta
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, descrever geometricamente o sólido dado pela integral em coordenadas esféricas e, em seguida, reescrever essa integral em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui envolve transformações de variáveis em integrais múltiplas (esféricas → cilíndricas) e identificação da região de integração.
A integral original em coordenadas esféricas é
V=integral0^2piintegral0^pi3integral1^2rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
As variáveis variam assim: 1≤ρ≤2, 0≤φ≤π/3 e 0≤θ≤2π. Em esféricas, ρ=distância à origem; φ=ângulo polar (de z); θ=ângulo em xy.

Passo 2

Com base nesses limites, o sólido é a parte do espaço entre as esferas de raio 1 e raio 2, dentro do cone de semi-ângulo φ=π/3 em torno do eixo z positivo. Em outras palavras, é o setor esférico limitado internamente pela esfera ρ=1, externamente pela esfera ρ=2 e lateralmente pelo cone φ=π/3.

Passo 3

Para passar a coordenadas cilíndricas usamos as relações
ρ=raizr^2+z^2, φ=arccosl(tfraczraizr^2+z^2r), dV=r,dr,dθ,dz
A condição φ≤π/3 equivale a
z/raizr^2+z^2>=costfracpi3=tfrac12
ou seja
z>=tfracrraiz3
E as esferas impõem
1<= r^2+z^2<=4

Passo 4

Para determinar os limites em (r,z) precisamos ver em que intervalo de z a região muda de formato. A interseção do cone com a esfera interna ρ=1 ocorre em z=1/2, e com a esfera externa ρ=2 ocorre em z=1. Assim o sólido em cilíndricas se fati
ada em dois pedaços:
  • Para 1/2≤z≤1: r varia de raiz1-z^2 (esfera interna) até raiz3,z (cone).
  • Para 1≤z≤2: o interior da esfera ρ=1 não aparece (não há interseção com r≥0), então r vai de 0 até raiz4-z^2.
    Em ambos 0≤θ≤2π.

Passo 5

Pronto! A integral em coordenadas cilíndricas fica como soma de dois triplos integrales, com dV=r,dr,dθ,dz.
A seguir está a expressão final em cilíndricas.

Resposta

V=integralθ=0^2πgl(integralz=tfrac12^1integralr=raiz1-z^2^raiz3,zr,dr,dz+integralz=1^2integralr=0^raiz4-z^2r,dr,dzgr)dθ

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