Represente geometricamente o sólido cujo volume pode ser calculado pela expressão
A seguir, reescreva esta expressão em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, descrever geometricamente o sólido dado pela integral em coordenadas esféricas e, em seguida, reescrever essa integral em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui envolve transformações de variáveis em integrais múltiplas (esféricas → cilíndricas) e identificação da região de integração.
A integral original em coordenadas esféricas é
A integral original em coordenadas esféricas é
As variáveis variam assim: 1≤ρ≤2, 0≤φ≤π/3 e 0≤θ≤2π. Em esféricas, ρ=distância à origem; φ=ângulo polar (de z); θ=ângulo em xy.
Passo 2
Com base nesses limites, o sólido é a parte do espaço entre as esferas de raio 1 e raio 2, dentro do cone de semi-ângulo φ=π/3 em torno do eixo z positivo. Em outras palavras, é o setor esférico limitado internamente pela esfera ρ=1, externamente pela esfera ρ=2 e lateralmente pelo cone φ=π/3.
Passo 3
Para passar a coordenadas cilíndricas usamos as relações
A condição φ≤π/3 equivale a
ou seja
E as esferas impõem
Passo 4
Para determinar os limites em (r,z) precisamos ver em que intervalo de z a região muda de formato. A interseção do cone com a esfera interna ρ=1 ocorre em z=1/2, e com a esfera externa ρ=2 ocorre em z=1. Assim o sólido em cilíndricas se fati
ada em dois pedaços:
ada em dois pedaços:
- Para 1/2≤z≤1: r varia de
(esfera interna) até (cone). - Para 1≤z≤2: o interior da esfera ρ=1 não aparece (não há interseção com r≥0), então r vai de 0 até
.
Em ambos 0≤θ≤2π.
Passo 5
Pronto! A integral em coordenadas cilíndricas fica como soma de dois triplos integrales, com
.
A seguir está a expressão final em cilíndricas.
A seguir está a expressão final em cilíndricas.