Nos itens abaixo, faça o que se pede:
Supondo que
e
são divisíveis por 11 , mostre que
também é divisível por 11 .
Supondo que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que
e
são divisíveis por 11. Nosso objetivo é mostrar que
também é divisível por 11. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e manipulação de equações básicas.
Passo 2
Primeiro, se
é divisível por 11, isso significa que existe um número inteiro
tal que:
Aqui,
representa quantas vezes 11 está contido em
.
Passo 3
Da mesma forma, como
é divisível por 11, existe um número inteiro
tal que:
O mesmo raciocínio se aplica aqui:
é quantas vezes 11 está contido em
.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
. Para isso, vamos somar as duas equações que obtivemos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Queremos isolar
. Para isso, vamos reorganizar a equação:
Aqui, estamos expressando
em termos de
e
.
Passo 6
Observe que
pode ser reescrito como:
No entanto, isso mostra que
tem um múltiplo de 11 mais 4, o que não garante que seja divisível por 11. Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 7
Vamos refazer os passos anteriores de uma maneira diferente. A partir das equações:
Agora, somando
e
:
Como
é múltiplo de 11 (
), podemos simplificar:
Isso mostra que
é igual a 11 vezes um número inteiro
, ou seja,
é divisível por 11.
Resposta
Portanto,
também é divisível por 11.