Seja a função
A função f(x, y)=ccc(x^2+y^2) sin 1x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) é contínua em f(x, y) ? Justifique sua resposta;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=(x^2+y^2),sindfrac1x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0. O conteúdo usado aqui é continuidade em R^2 e o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) avaliamos
|f(x,y)|=|(x^2+y^2),sin1x^2+y^2|
Como |sin u|<=1, segue
|f(x,y)|<= x^2+y^2

Passo 3

Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo teorema do confronto concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
E como f(0,0)=0, temos lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0), logo f é contínua em (0,0).

Resposta

Sim. A função é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), pelo teorema do confronto.

Exercícios relacionados