Seja a função
A função é contínua em ? Justifique sua resposta;
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se f é contínua em (0,0). Para isso precisamos ver se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0. O conteúdo usado aqui é continuidade em R^2 e o teorema do confronto (squeeze theorem).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) avaliamos
|f(x,y)|=|(x^2+y^2),sin1x^2+y^2|
Como |sin u|<=1, segue |f(x,y)|<= x^2+y^2
Passo 3
Como x^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo teorema do confronto concluímos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
E como f(0,0)=0, temos lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0), logo f é contínua em (0,0).
Resposta
Sim. A função é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), pelo teorema do confronto.