Nos itens abaixo, uma função coeficiente apresenta descontinuidade no ponto t=1. Resolva o PVI encontrando uma solução em cada subintervalo (note que a solução pode ser definida de forma contínua na união dos subintervalos).
y^{\prime}+2 y=b(t), \quad y(0)=0, \quad onde b(t)=\left\{\begin{array}{rr}1, & 0 \leq t \leq 1, \\\\ 0, & t>1 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'+2y=b(t),\qquad y(0)=0,
com a função coeficiente definida por partes
b(t)=\begin{cases} 1, & 0\le t\le1,\\[4pt] 0, & t>1. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a solução y(t) em cada subintervalo determinado pela descontinuidade em t=1 (isto é, em [0,1] e em (1,\infty)), lembrando que a solução pode ser descrita de forma contínua na união desses intervalos.]

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicando passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(t)y=q(t),
usa-se o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
\bigl(\mu(t)y(t)\bigr)'=\mu(t)q(t),
porque \bigl(\mu y\bigr)'=\mu y'+\mu' y e \mu'=\mu p. Depois integra-se em t e isola-se y(t). Aqui temos p(t)=2 (constante), portanto
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.

Passo 3

Resolver em [0,1] (onde b(t)=1). Multiplicando por \mu(t)=e^{2t} temos
\bigl(e^{2t}y(t)\bigr)'=e^{2t}\cdot 1=e^{2t}.
Integramos de 0 até t (com 0\le t\le1) para usar a condição inicial y(0)=0:
e^{2t}y(t)-e^{0}y(0)=\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds.
Como y(0)=0 e \int_{0}^{t}e^{2s}\,ds=\dfrac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr), obtemos
e^{2t}y(t)=\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr).
Isolando y(t),
y(t)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr),\qquad 0\le t\le1.
Comentário curto sobre a forma: esta solução é a soma da solução particular estacionária e da parte transiente que decai exponencialmente.

Passo 4

Avaliar o valor em t=1 (vamos precisar disso para o próximo intervalo). Substituindo t=1 na expressão do passo anterior:
y(1)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2}\bigr).
Anote esse número simbólico; ele será a condição inicial para a solução em t>1.

Passo 5

Resolver em (1,\infty) (onde b(t)=0). A equação fica homogênea:
y'+2y=0.
Isto é uma equação separável ou se resolve pelo fator integrante também. A solução geral é
y(t)=C e^{-2t},
onde C é constante a determinar.

Passo 6

Determinar a constante C impondo continuidade em t=1. Para equações lineares com termo de força integrável, a solução y(t) resulta da fórmula com fator integrante e é contínua; portanto exige-se y(1^+)=y(1^-). Igualando ao valor do passo 4:
C e^{-2}=y(1)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2}\bigr).
Assim
C=e^{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2}\bigr)=\frac{e^{2}-1}{2}.
Logo, para t>1,
y(t)=\frac{e^{2}-1}{2}\,e^{-2t}.
Uma forma mais interpretativa é escrever a solução no intervalo t>1 em função de y(1):
y(t)=y(1)\,e^{-2(t-1)}=\frac{1-e^{-2}}{2}\,e^{-2(t-1)},\qquad t>1,
o que mostra que a solução simplesmente decai exponencialmente a partir do valor atingido em t=1.

Passo 7

Resumo das propriedades e checagens rápidas:
  • Em t=1 as duas fórmulas coincidem, portanto a solução é contínua em t=1.
  • A derivada tem, em geral, uma descontinuidade em t=1 (pois o termo de força b(t) salta de 1 para 0), o que é esperado: y' pode pular enquanto y permanece contínua.
  • As expressões obtidas são fáceis de calcular na prova sem calculadora (só envolver exponenciais e manipulações algébricas simples).

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr),\quad 0\le t\le1\n
y(t)=\dfrac{e^{2}-1}{2}\,e^{-2t}=\dfrac{1-e^{-2}}{2}\,e^{-2(t-1)},\quad t>1

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