Nos itens abaixo, uma função coeficiente apresenta descontinuidade no ponto t=1. Resolva o PVI encontrando uma solução em cada subintervalo (note que a solução pode ser definida de forma contínua na união dos subintervalos). y^{\prime}+2 y=b(t), \quad y(0)=0, \quad onde b(t)=\left\{\begin{array}{rr}1, & 0 \leq t \leq 1, \\\\ 0, & t>1 .\end{array}\right.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) em cada subintervalo determinado pela descontinuidade em t=1 (isto é, em [0,1] e em (1,\infty)), lembrando que a solução pode ser descrita de forma contínua na união desses intervalos.]
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicando passo a passo): para uma equação linear de primeira ordem
y'+p(t)y=q(t),
usa-se o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
\bigl(\mu(t)y(t)\bigr)'=\mu(t)q(t),
porque \bigl(\mu y\bigr)'=\mu y'+\mu' y e \mu'=\mu p. Depois integra-se em t e isola-se y(t). Aqui temos p(t)=2 (constante), portanto
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Passo 3
Resolver em [0,1] (onde b(t)=1). Multiplicando por \mu(t)=e^{2t} temos
\bigl(e^{2t}y(t)\bigr)'=e^{2t}\cdot 1=e^{2t}.
Integramos de 0 até t (com 0\le t\le1) para usar a condição inicial y(0)=0:
e^{2t}y(t)-e^{0}y(0)=\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds.
Como y(0)=0 e \int_{0}^{t}e^{2s}\,ds=\dfrac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr), obtemos
Comentário curto sobre a forma: esta solução é a soma da solução particular estacionária e da parte transiente que decai exponencialmente.
Passo 4
Avaliar o valor em t=1 (vamos precisar disso para o próximo intervalo). Substituindo t=1 na expressão do passo anterior:
y(1)=\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2}\bigr).
Anote esse número simbólico; ele será a condição inicial para a solução em t>1.
Passo 5
Resolver em (1,\infty) (onde b(t)=0). A equação fica homogênea:
y'+2y=0.
Isto é uma equação separável ou se resolve pelo fator integrante também. A solução geral é
y(t)=C e^{-2t},
onde C é constante a determinar.
Passo 6
Determinar a constante C impondo continuidade em t=1. Para equações lineares com termo de força integrável, a solução y(t) resulta da fórmula com fator integrante e é contínua; portanto exige-se y(1^+)=y(1^-). Igualando ao valor do passo 4:
o que mostra que a solução simplesmente decai exponencialmente a partir do valor atingido em t=1.
Passo 7
Resumo das propriedades e checagens rápidas:
Em t=1 as duas fórmulas coincidem, portanto a solução é contínua em t=1.
A derivada tem, em geral, uma descontinuidade em t=1 (pois o termo de força b(t) salta de 1 para 0), o que é esperado: y' pode pular enquanto y permanece contínua.
As expressões obtidas são fáceis de calcular na prova sem calculadora (só envolver exponenciais e manipulações algébricas simples).