Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que ele pede é para a gente encontrar uma fórmula que nos dê a soma dos primeiros $ n $ termos dessa série:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Progressões Geométricas e Séries Geométricas. Precisaremos entender como identificar o primeiro termo, a razão e aplicar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série. Observando:
- O primeiro termo ($ a_1 $) é 1.
- O segundo termo é -2.
- O terceiro termo é 4.
- O quarto termo é -8, e assim por diante.
Vemos que a cada termo, o sinal muda (positivo e negativo alternadamente) e o valor absoluto dobra. Isso indica que temos uma Progressão Geométrica (PG) com:
- Primeiro termo ($ a_1 $): 1
- Razão ($ r $): Para encontrar a razão, dividimos o segundo termo pelo primeiro: $ r = \frac{-2}{1} = -2 $
Passo 3
Com esses valores, podemos escrever o termo geral ($ a_n $) da PG:
Substituindo $ a_1 = 1 $ e $ r = -2 $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a soma dos primeiros $ n $ termos dessa série, ou seja, a soma parcial $ S_n $.
A fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma PG é:
Passo 5
Substituindo $ a_1 = 1 $ e $ r = -2 $ na fórmula:
Simplificando o denominador:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Agora, queremos saber se a série converge, ou seja, se a soma tende a um valor finito quando $ n $ tende ao infinito.
Para uma PG com razão $ |r| < 1 $, a série converge e a soma infinita é:
No nosso caso, a razão é $ r = -2 $, e $ |r| = 2 $, que é maior que 1. Isso significa que a série não converge, ou seja, a soma tende ao infinito.
Resposta
A fórmula da $ n $-ésima soma parcial é:
Como a razão da série é $ -2 $ (com módulo maior que 1), a série não converge.