Considere a função f(x, y)=x^2+y^2.
(b) Dtermine o ponto ( x, y ) que minimiza f sobre o conjunto D=(x, y) ; 2 x-5 y+1=0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos minimizar a função f(x,y)=x^2+y^2 sujeita à restrição da reta D:,2x-5y+1=0. O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange e vamos precisar aplicar as condições de otimalidade usando o gradiente de f e da restrição.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana e escrevemos as condições de otimalidade.
L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambdal(2x-5y+1r)
Impondo nabla L=0, temos as equações de primeira ordem:
2x - 2lambda = 0, 2y + 5lambda = 0

Passo 3

Das equações derivadas obtemos x=lambda e y=-tfrac52lambda. Substituindo na restrição 2x-5y+1=0, chegamos a
2lambda - 5l(-tfrac52lambdar) + 1 = 0
do que resulta 2lambda + tfrac252lambda +1=0 e, portanto, lambda=-tfrac229. Assim,
x=-tfrac229, y=tfrac529

Resposta

(-\frac{2}{29},;\frac{5}{29})

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