Nos itens abaixo, mostre que u, v in V são ortogonais ou obtenha condições para que eles sejam.
V um espaço com produto interno, u=w-k v e v neq 0, onde w in V e k=lang<= w, vrang<=|v|^2

Passo 1

O enunciado define um espaço V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, um vetor vneq0, um vetor arbitrário win V e
u = w - k,v, k = lang<= w,vrang<=|v|^2
O objetivo é verificar se u e v são ortogonais, isto é, se lang<= u,vrang<==0.

Passo 2

Usamos a linearidade do produto interno na primeira componente para calcular
lang<= u,vrang<= = lang<= w - k,v,;vrang<= = lang<= w,vrang<= ;-; k,lang<= v,vrang<=

Passo 3

Substituindo k = dfraclang<= w,vrang<=|v|^2 e lembrando que lang<= v,vrang<==|v|^2, obtemos
lang<= u,vrang<= = lang<= w,vrang<= - lang<= w,vrang<=|v|^2;|v|^2 = lang<= w,vrang<= - lang<= w,vrang<= = 0

Resposta

Os vetores u e v são ortogonais, pois lang<= u,vrang<==0.

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