Seja um operador linear sobre um espaço vetorial com produto interno e dimensão finita. Então mostre que é uma isometria se, e somente se, a matriz de em relação a uma base ortonormal é uma matriz tal que (transposta conjugada).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador linear T num espaço vetorial com produto interno e dimensão finita é isometria (isto é, preserva o produto interno) se, e somente se, a matriz de T na base ortonormal B satisfaz
(T)B^-1 ;=;l((T)Br)^t
O que vamos usar: a definição de isometria lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<= e o fato de que, em base ortonormal, a matriz conjugada transposta A^t representa o adjunto de A.
Passo 2
Seja A=(T)B a matriz de T na base ortonormal B. Dados vetores v,w cujas coordenadas em B são x,yinC^n, temos