Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial com produto interno e dimensão finita. Então mostre que T é uma isometria se, e somente se, a matriz de T em relação a uma base ortonormal B é uma matriz tal que (T)B^-1=(T)B^t (transposta conjugada).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador linear T num espaço vetorial com produto interno e dimensão finita é isometria (isto é, preserva o produto interno) se, e somente se, a matriz de T na base ortonormal B satisfaz
(T)B^-1 ;=;l((T)Br)^t
O que vamos usar: a definição de isometria lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<= e o fato de que, em base ortonormal, a matriz conjugada transposta A^t representa o adjunto de A.

Passo 2

Seja A=(T)B a matriz de T na base ortonormal B. Dados vetores v,w cujas coordenadas em B são x,yinC^n, temos
lang<= v,wrang<= ;=;x^,ty,
e
T(v)mapsto A,x, T(w)mapsto A,y

Passo 3

Se T é isometria então para todo x,y vale
lang<= T(v),T(w)rang<= =lang<= A,x,;A,yrang<= =(A,x)^,t,(A,y) =x^,t,l(A^,tAr),y ;=;x^,ty
Como isso ocorre para todos x,y, concluímos
A^,tA = I

Passo 4

Da igualdade A^,tA=I segue A^-1=A^,t. Ou seja,
(T)B^-1 = A^-1 = A^,t = l((T)Br)^t
Isso prova a direção “ Rightarrow”.

Passo 5

Reciprocamente, se A^-1=A^,t então
A^,tA = I,
e pelo cálculo do passo 3 isso implica
lang<= A,x,A,yrang<==x^,ty, ou seja, T preserva o produto interno e é isometria.

Resposta

Mostramos que T é isometria se, e somente se, na base ortonormal B satisfaz
(T)B^-1 = l((T)Br)^t

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