Verifique se as aplicações abaixo são isometrias:
T in L(R^2) definida por T(x, y)=(12 x-raiz32 y, raiz32 x+12 y)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y)=l(tfrac12x-tfracraiz32y,;tfracraiz32x+tfrac12yr)
Queremos verificar se T é isometria, isto é, se ela preserva a norma em R^2. Para isso podemos mostrar que a matriz de T é ortogonal, ou seja, que A^T A=I.

Passo 2

A matriz de T na base canônica de R^2 é
A = tfrac12 & -tfracraiz32 tfracraiz32 & tfrac12

Passo 3

Calculemos
A^T = tfrac12 & tfracraiz32 -,tfracraiz32 & tfrac12 ,
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A^T A = tfrac12 & tfracraiz32 -,tfracraiz32 & tfrac12 tfrac12 & -tfracraiz32 tfracraiz32 & tfrac12 = (tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 & tfrac12(-tfracraiz32)+tfracraiz32tfrac12 -,tfracraiz32tfrac12+tfrac12tfracraiz32 & (tfracraiz32)^2+(tfrac12)^2 = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Como A^T A=I, a matriz A é ortogonal e, portanto, T preserva norma e produto interno. Logo T é isometria (na verdade é a rotação de 60^circ).

Resposta

T é isometria.

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