Nos itens abaixo,
a) y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)-y(x)=0, \quad x_{0}=0;
b) y^{\prime \prime}(x)+k^{2} x^{2} y(x)=0, \quad x_{0}=0, \quad k constante;
c) (1-x) y^{\prime \prime}(x)+y(x)=0 \quad x_{0}=0;
d) y^{\prime \prime}(x)+x y^{\prime}(x)+2 y(x)=0, \quad x_{0}=0;
e) \left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}(x)+2 y(x)=0, \quad x_{0}=0.
(i) Procure por soluções em série para a EDO dada em torno do ponto x_{0} dado e encontre a relação de recorrência.
(ii) Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções y_{1} e y_{2}.
(iii) Avalie o Wronskiano W\left(y_{1}\left(x_{0}\right), y_{2}\left(x_{0}\right)\right) para mostrar que as soluções obtidas formam uma base para o espaço-solução da EDO.
(iv) Se possível, determine o termo geral de cada solução.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele dá (peguei tudo do enunciado).
Há cinco EDOs, cada uma com o ponto de expansão x_0=0:
a) \;y''(x)-x\,y'(x)-y(x)=0.
b) \;y''(x)+k^{2}x^{2}y(x)=0, com k constante.
c) \;(1-x)y''(x)+y(x)=0.
d) \;y''(x)+x\,y'(x)+2y(x)=0.
e) \;(4-x^{2})y''(x)+2y(x)=0.
Para cada EDO o enunciado pede:
(i) procurar soluções em série em torno de x_0=0 e achar a relação de recorrência entre coeficientes;
(ii) obter os primeiros quatro termos de duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2};
(iii) avaliar o Wronskiano W(y_{1}(0),y_{2}(0)) para mostrar que as duas são base do espaço solução;
(iv) quando possível, obter o termo geral das séries.
Observações iniciais que vou usar: vou assumir a forma em série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Em todos os itens vou construir a recorrência igualando coeficientes de x^{n}. Para obter duas soluções independentes tomo, como normalização usual, os dois conjuntos de condições iniciais (equivalentes a escolher a_0 e a_1):
solução par/set com a_0=1,\;a_1=0 (chamarei de y_1);
solução ímpar/com a_0=0,\;a_1=1 (chamarei de y_2).
Com essa normalização teremos sempre
O produto x\sum (n+1)a_{n+1}x^{n}=\sum (n+1)a_{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} (reindexando), logo, agrupando coeficientes de x^{n} obtemos para n\ge0:
Para y_{1} com a_{0}=1,\;a_{1}=0:a_{2}=\dfrac{1}{2}a_{0}=\dfrac{1}{2},\quad a_{4}=\dfrac{1}{4}a_{2}=\dfrac{1}{8},\quad a_{6}=\dfrac{1}{6}a_{4}=\dfrac{1}{48},\ldotsLogo os primeiros quatro termos (quatro termos não-nulos) da solução associada a a_{0}=1 são\boxed{y_{1}(x)=1+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{1}{48}x^{6}+\cdots.}
Para y_{2} com a_{0}=0,\;a_{1}=1:a_{3}=\dfrac{1}{3}a_{1}=\dfrac{1}{3},\quad a_{5}=\dfrac{1}{5}a_{3}=\dfrac{1}{15},\quad a_{7}=\dfrac{1}{7}a_{5}=\dfrac{1}{105},\ldotsEntão\boxed{y_{2}(x)=x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{15}x^{5}+\dfrac{1}{105}x^{7}+\cdots.}
Verificação do Wronskiano em x=0: pelas séries temos y_1(0)=1,\;y_1'(0)=0,\;y_2(0)=0,\;y_2'(0)=1, logo
\boxed{W(y_1,y_2)(0)=1.}
Termo geral: da recorrência a_{n+2}=a_n/(n+2) separa em par e ímpar. Para indices pares n=2m:
a_{2m}=\dfrac{a_{0}}{2^{m}m!}.
Para índices ímpares n=2m+1:
a_{2m+1}=\dfrac{a_{1}}{(2m+1)!!}\quad\text{(produto dos ímpares até \(2m+1\)).}íé
Portanto o termo geral está dado por essas fórmulas (ou usando double-factorial para ímpares).
ou equivalentemente escrever o denominador como produto explícito em termos de fatoriais/constantes. A ideia principal: coeficientes aparecem apenas a cada 4 potências e a fórmula acima dá o termo geral.
Wronskiano: pelos coeficientes iniciais normalizados obtemos novamente
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: a recorrência envolve dois coeficientes anteriores e não reduz a uma forma simples elementar em termos de fatoriais; portanto não há uma expressão “simples” do tipo closed-form elementar para a_n (pelo menos não tão direta). A forma recursiva acima é a descrição prática do termo geral e permite gerar arbitrariamente muitos coeficientes para uso em prova ou computador.
Como a_{4}=0 segue que todos os a_{2m} com m\ge2 são zero (pela recorrência que usa a_4 para obter a_6, etc.). Portanto a série termina: a solução é um polinômio de grau 2!
Wronskiano em 0: com as normalizações obtemos novamente
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: da recorrência a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n} segue que:
Para os índices pares, a_{2}\neq0 mas a_{4}=0 (porque o fator n-2 anula em n=2), então a subsequência dos pares zera a partir de a_{4} e, portanto, a solução associada a a_{0} é polinomial (grau 2);
Para os índices ímpares há uma fórmula recursiva por salto de 2 que permite escrever a_{2m+1} como produto finito envolvendo fatores (2j-1-2)/(4(2j+1)); não há uma forma elementar muito mais simples, mas a recorrência dá o termo geral computacionalmente:
(Para m pequeno a fórmula acima gera os coeficientes numéricos obtidos.)
Resposta
(a) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{1}{n+2}a_{n}.
y1: 1+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{1}{48}x^{6}+\cdots.
y2: x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{15}x^{5}+\dfrac{1}{105}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: a_{2m}=\dfrac{a_{0}}{2^{m}m!},\;a_{2m+1}=\dfrac{a_{1}}{(2m+1)!!}.
(b) Recorrência: a_{n+4}=-\dfrac{k^{2}}{(n+4)(n+3)}a_{n}.
y1: 1-\dfrac{k^{2}}{12}x^{4}+\dfrac{k^{4}}{672}x^{8}-\dfrac{k^{6}}{88704}x^{12}+\cdots.
y2: x-\dfrac{k^{2}}{20}x^{5}+\dfrac{k^{4}}{1440}x^{9}-\dfrac{k^{6}}{224640}x^{13}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: coeficientes aparecem a cada 4 potências; por exemplo a_{4m}=(-1)^{m}\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}(4j(4j-1))}a_{0} e fórmula análoga para a_{4m+1}.
(c) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)(n+1)}.
y1: 1-\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{24}x^{4}+\cdots.
y2: x-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{12}x^{4}-\dfrac{1}{24}x^{5}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: dado recursivamente acima (não há forma elementar simples imediata).
(d) Recorrência: a_{n+2}=-\dfrac{a_{n}}{n+1}.
y1: 1-x^{2}+\dfrac{1}{3}x^{4}-\dfrac{1}{15}x^{6}+\cdots.
y2: x-\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{8}x^{5}-\dfrac{1}{48}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: a_{2m}=(-1)^{m}\dfrac{a_{0}}{(2m-1)!!},\;a_{2m+1}=(-1)^{m}\dfrac{a_{1}}{2^{m}m!}.
(e) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n}.
y1: 1-\dfrac{1}{4}x^{2} (polinômio de grau 2).
y2: x-\dfrac{1}{12}x^{3}-\dfrac{1}{240}x^{5}-\dfrac{1}{2240}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: \;a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n} (para pares a sequência zera a partir de a_{4}, gerando a solução polinomial; para ímpares o termo geral pode ser escrito como produto finito conforme o índice).