Nos itens abaixo,
a) y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)-y(x)=0, \quad x_{0}=0;
b) y^{\prime \prime}(x)+k^{2} x^{2} y(x)=0, \quad x_{0}=0, \quad k constante;
c) (1-x) y^{\prime \prime}(x)+y(x)=0 \quad x_{0}=0;
d) y^{\prime \prime}(x)+x y^{\prime}(x)+2 y(x)=0, \quad x_{0}=0;
e) \left(4-x^{2}\right) y^{\prime \prime}(x)+2 y(x)=0, \quad x_{0}=0.
(i) Procure por soluções em série para a EDO dada em torno do ponto x_{0} dado e encontre a relação de recorrência.
(ii) Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções y_{1} e y_{2}.
(iii) Avalie o Wronskiano W\left(y_{1}\left(x_{0}\right), y_{2}\left(x_{0}\right)\right) para mostrar que as soluções obtidas formam uma base para o espaço-solução da EDO.
(iv) Se possível, determine o termo geral de cada solução.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele dá (peguei tudo do enunciado).
  • Há cinco EDOs, cada uma com o ponto de expansão x_0=0:
    a) \;y''(x)-x\,y'(x)-y(x)=0.
    b) \;y''(x)+k^{2}x^{2}y(x)=0, com k constante.
    c) \;(1-x)y''(x)+y(x)=0.
    d) \;y''(x)+x\,y'(x)+2y(x)=0.
    e) \;(4-x^{2})y''(x)+2y(x)=0.
  • Para cada EDO o enunciado pede:
    (i) procurar soluções em série em torno de x_0=0 e achar a relação de recorrência entre coeficientes;
    (ii) obter os primeiros quatro termos de duas soluções linearmente independentes y_{1} e y_{2};
    (iii) avaliar o Wronskiano W(y_{1}(0),y_{2}(0)) para mostrar que as duas são base do espaço solução;
    (iv) quando possível, obter o termo geral das séries.
Observações iniciais que vou usar: vou assumir a forma em série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}, \qquad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Em todos os itens vou construir a recorrência igualando coeficientes de x^{n}. Para obter duas soluções independentes tomo, como normalização usual, os dois conjuntos de condições iniciais (equivalentes a escolher a_0 e a_1):
  • solução par/set com a_0=1,\;a_1=0 (chamarei de y_1);
  • solução ímpar/com a_0=0,\;a_1=1 (chamarei de y_2).
    Com essa normalização teremos sempre
W(0)=\begin{vmatrix} y_1(0) & y_2(0)\\\ y_1'(0) & y_2'(0)\end{vmatrix} = y_1(0)y_2'(0)-y_1'(0)y_2(0)=1\cdot 1-0\cdot 0=1,
desde que as séries realmente produzam y_1(0)=1,\;y_1'(0)=0,\;y_2(0)=0,\;y_2'(0)=1. Vou verificar isso explicitamente em cada caso.
Agora começo a resolver cada item separadamente, sempre mostrando como faço as contas passo a passo.

Passo 2

Equação a):
y''-x y'-y=0.
Substituo as séries:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} - x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
O produto x\sum (n+1)a_{n+1}x^{n}=\sum (n+1)a_{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} (reindexando), logo, agrupando coeficientes de x^{n} obtemos para n\ge0:
(n+2)(n+1)a_{n+2}-n a_{n}-a_{n}=0.
Isto simplifica para
(n+2)(n+1)a_{n+2}=(n+1)a_{n}.
Portanto a relação de recorrência é
\boxed{a_{n+2}=\dfrac{1}{n+2}\;a_{n},\qquad n\ge0.}

Passo 3

Usando a recorrência e as normalizações:
  • Para y_{1} com a_{0}=1,\;a_{1}=0: a_{2}=\dfrac{1}{2}a_{0}=\dfrac{1}{2},\quad a_{4}=\dfrac{1}{4}a_{2}=\dfrac{1}{8},\quad a_{6}=\dfrac{1}{6}a_{4}=\dfrac{1}{48},\ldotsLogo os primeiros quatro termos (quatro termos não-nulos) da solução associada a a_{0}=1 são \boxed{y_{1}(x)=1+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{1}{48}x^{6}+\cdots.}
  • Para y_{2} com a_{0}=0,\;a_{1}=1: a_{3}=\dfrac{1}{3}a_{1}=\dfrac{1}{3},\quad a_{5}=\dfrac{1}{5}a_{3}=\dfrac{1}{15},\quad a_{7}=\dfrac{1}{7}a_{5}=\dfrac{1}{105},\ldotsEntão \boxed{y_{2}(x)=x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{15}x^{5}+\dfrac{1}{105}x^{7}+\cdots.}
Verificação do Wronskiano em x=0: pelas séries temos y_1(0)=1,\;y_1'(0)=0,\;y_2(0)=0,\;y_2'(0)=1, logo
\boxed{W(y_1,y_2)(0)=1.}
Termo geral: da recorrência a_{n+2}=a_n/(n+2) separa em par e ímpar. Para indices pares n=2m:
a_{2m}=\dfrac{a_{0}}{2^{m}m!}.
Para índices ímpares n=2m+1:
a_{2m+1}=\dfrac{a_{1}}{(2m+1)!!}\quad\text{(produto dos ímpares até \(2m+1\)).}íé
Portanto o termo geral está dado por essas fórmulas (ou usando double-factorial para ímpares).

Passo 4

Equação b):
y''+k^{2}x^{2}y=0.
Substituo séries:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} + k^{2}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+2}=0.
Reescrevendo o segundo somatório como \sum_{n=2}^{\infty}k^{2}a_{n-2}x^{n} e agrupando coeficientes de x^{n} obtemos, para n\ge0,
(n+2)(n+1)a_{n+2}+k^{2}a_{n-2}=0,
com a convenção a_{-1}=a_{-2}=0. Reindexando convenientemente (ou substituindo n\to n+2) obtém-se a forma prática da recorrência:
\boxed{a_{n+4}=-\dfrac{k^{2}}{(n+4)(n+3)}\,a_{n},\qquad n\ge0.}
Essa relação liga coeficientes com diferença 4, o que gera séries com potências x^{0},x^{4},x^{8},\dots e x^{1},x^{5},x^{9},\dots.

Passo 5

Com as normalizações:
  • y_{1} com a_{0}=1,\;a_{1}=0. Como a_{2}=a_{3}=0 (vem de termos iniciais), usando a recorrência por saltos de 4:
    a_{4}=-\dfrac{k^{2}}{4\cdot 3}a_{0}=-\dfrac{k^{2}}{12},\quad a_{8}=-\dfrac{k^{2}}{8\cdot 7}a_{4}=\dfrac{k^{4}}{672},\quad a_{12}=-\dfrac{k^{2}}{12\cdot11}a_{8}=-\dfrac{k^{6}}{88704},\ldots
    Assim os primeiros quatro termos não nulos de y_{1} (em potências crescentes) são
    \boxed{y_{1}(x)=1-\dfrac{k^{2}}{12}x^{4}+\dfrac{k^{4}}{672}x^{8}-\dfrac{k^{6}}{88704}x^{12}+\cdots.}
  • y_{2} com a_{0}=0,\;a_{1}=1:
    a_{5}=-\dfrac{k^{2}}{5\cdot4}a_{1}=-\dfrac{k^{2}}{20},\quad a_{9}=-\dfrac{k^{2}}{9\cdot8}a_{5}=\dfrac{k^{4}}{1440},\quad a_{13}=-\dfrac{k^{2}}{13\cdot12}a_{9}=-\dfrac{k^{6}}{224640},\ldots
    Logo
    \boxed{y_{2}(x)=x-\dfrac{k^{2}}{20}x^{5}+\dfrac{k^{4}}{1440}x^{9}-\dfrac{k^{6}}{224640}x^{13}+\cdots.}
Wronskiano: pelos valores iniciais normalizados, novamente
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: da recorrência por blocos de 4 temos para m\ge0
a_{4m} = (-1)^{m}\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}(4j(4j-1))}\,a_{0}, \qquad a_{4m+1}=(-1)^{m}\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}( (4j+1)(4j) )}\,a_{1},
ou equivalentemente escrever o denominador como produto explícito em termos de fatoriais/constantes. A ideia principal: coeficientes aparecem apenas a cada 4 potências e a fórmula acima dá o termo geral.

Passo 6

Equação c):
(1-x)y''+y=0.
Escrevo como y''-x y''+y=0. Substituindo séries:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} - \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0,
onde usei x y''=\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)a_{n+1}x^{n}. Igualando coeficientes para n=0 e n\ge1 obtemos, para n\ge1,
(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n+1}+a_{n}=0,
e para n=0 a equação dá 2a_{2}+a_{0}=0, que é o caso n=0 da fórmula que segue. Assim a recorrência é
\boxed{a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)(n+1)},\qquad n\ge0.}

Passo 7

Compute com normalizações.
  • Para y_{1}: a_{0}=1,\;a_{1}=0.
    a_{2}=-\dfrac{1}{2},\quad a_{3}=-\dfrac{1}{6},\quad a_{4}=-\dfrac{1}{24},\quad a_{5}=-\dfrac{1}{60},\ldots
    Portanto os primeiros quatro termos (em ordem crescente de potência) são
    \boxed{y_{1}(x)=1-\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{24}x^{4}+\cdots.}
  • Para y_{2}: a_{0}=0,\;a_{1}=1.
    a_{2}=0,\quad a_{3}=-\dfrac{1}{6},\quad a_{4}=-\dfrac{1}{12},\quad a_{5}=-\dfrac{1}{24},\ldots
    Assim
    \boxed{y_{2}(x)=x-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{12}x^{4}-\dfrac{1}{24}x^{5}+\cdots.}
Wronskiano: pelos coeficientes iniciais normalizados obtemos novamente
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: a recorrência envolve dois coeficientes anteriores e não reduz a uma forma simples elementar em termos de fatoriais; portanto não há uma expressão “simples” do tipo closed-form elementar para a_n (pelo menos não tão direta). A forma recursiva acima é a descrição prática do termo geral e permite gerar arbitrariamente muitos coeficientes para uso em prova ou computador.

Passo 8

Equação d):
y''+x y'+2y=0.
Substituo séries:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} + \sum_{n=0}^{\infty}n a_{n}x^{n} + 2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Agrupando:
(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)a_{n}=0
porque n a_n+2 a_n=(n+2)a_n. Assim
\boxed{a_{n+2}=-\dfrac{a_{n}}{n+1},\qquad n\ge0.}
Isso separa par/ímpar e é bem simples.

Passo 9

Com as normalizações:
  • y_{1} ( a_{0}=1,\;a_{1}=0):
    a_{2}=-1,\quad a_{4}=\dfrac{1}{3},\quad a_{6}=-\dfrac{1}{15},\ldots
    Logo
    \boxed{y_{1}(x)=1-x^{2}+\dfrac{1}{3}x^{4}-\dfrac{1}{15}x^{6}+\cdots.}
  • y_{2} ( a_{0}=0,\;a_{1}=1):
    a_{3}=-\dfrac{1}{2},\quad a_{5}=\dfrac{1}{8},\quad a_{7}=-\dfrac{1}{48},\ldots
    Assim
    \boxed{y_{2}(x)=x-\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{8}x^{5}-\dfrac{1}{48}x^{7}+\cdots.}
Wronskiano em 0:
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: da recorrência a_{n+2}=-a_n/(n+1) obtemos fórmulas fechadas separando pares e ímpares. Para os termos pares n=2m,
a_{2m}=(-1)^{m}\dfrac{a_{0}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2m-1)}= (-1)^{m}\dfrac{a_{0}}{(2m-1)!!},
e para os termos ímpares n=2m+1,
a_{2m+1}=(-1)^{m}\dfrac{a_{1}}{2^{m}m!}.
Essas são expressões fechadas úteis para o termo geral.

Passo 10

Equação e):
(4-x^{2})y''+2y=0.
Escrevendo 4y''-x^{2}y''+2y=0 e substituindo séries:
4\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} - \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n} + 2\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Igualando coeficientes de x^{n} e simplificando (observando que 2-n(n-1)=-(n-2)(n+1)) obtemos, para n\ge0,
4(n+2)(n+1)a_{n+2}+[2-n(n-1)]a_{n}=0,
o que se simplifica elegantemente para
\boxed{a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}\,a_{n},\qquad n\ge0.}

Passo 11

Com as normalizações:
  • y_{1} com a_{0}=1,\;a_{1}=0:
    a_{2}=\dfrac{0-2}{4\cdot 2}a_{0}=-\dfrac{1}{4},\quad a_{4}=\dfrac{2-2}{4\cdot 4}a_{2}=0.
    Como a_{4}=0 segue que todos os a_{2m} com m\ge2 são zero (pela recorrência que usa a_4 para obter a_6, etc.). Portanto a série termina: a solução é um polinômio de grau 2!
    \boxed{y_{1}(x)=1-\dfrac{1}{4}x^{2}.}
  • y_{2} com a_{0}=0,\;a_{1}=1:
    a_{3}=\dfrac{1-2}{4\cdot 3}a_{1}=-\dfrac{1}{12},\quad a_{5}=\dfrac{3-2}{4\cdot5}a_{3}=-\dfrac{1}{240},\quad a_{7}=\dfrac{5-2}{4\cdot7}a_{5}=-\dfrac{1}{2240},\ldots
    Assim os primeiros quatro termos são
    \boxed{y_{2}(x)=x-\dfrac{1}{12}x^{3}-\dfrac{1}{240}x^{5}-\dfrac{1}{2240}x^{7}+\cdots.}
Wronskiano em 0: com as normalizações obtemos novamente
\boxed{W(y_{1},y_{2})(0)=1.}
Termo geral: da recorrência a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n} segue que:
  • Para os índices pares, a_{2}\neq0 mas a_{4}=0 (porque o fator n-2 anula em n=2), então a subsequência dos pares zera a partir de a_{4} e, portanto, a solução associada a a_{0} é polinomial (grau 2);
  • Para os índices ímpares há uma fórmula recursiva por salto de 2 que permite escrever a_{2m+1} como produto finito envolvendo fatores (2j-1-2)/(4(2j+1)); não há uma forma elementar muito mais simples, mas a recorrência dá o termo geral computacionalmente:
a_{2m+1}=a_{1}\prod_{j=1}^{m}\dfrac{2j-1-2}{4(2j+1)}.
(Para m pequeno a fórmula acima gera os coeficientes numéricos obtidos.)

Resposta

(a) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{1}{n+2}a_{n}.
y1: 1+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{1}{48}x^{6}+\cdots.
y2: x+\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{15}x^{5}+\dfrac{1}{105}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: a_{2m}=\dfrac{a_{0}}{2^{m}m!},\;a_{2m+1}=\dfrac{a_{1}}{(2m+1)!!}.
(b) Recorrência: a_{n+4}=-\dfrac{k^{2}}{(n+4)(n+3)}a_{n}.
y1: 1-\dfrac{k^{2}}{12}x^{4}+\dfrac{k^{4}}{672}x^{8}-\dfrac{k^{6}}{88704}x^{12}+\cdots.
y2: x-\dfrac{k^{2}}{20}x^{5}+\dfrac{k^{4}}{1440}x^{9}-\dfrac{k^{6}}{224640}x^{13}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: coeficientes aparecem a cada 4 potências; por exemplo
a_{4m}=(-1)^{m}\dfrac{k^{2m}}{\prod_{j=1}^{m}(4j(4j-1))}a_{0} e fórmula análoga para a_{4m+1}.
(c) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{n(n+1)a_{n+1}-a_{n}}{(n+2)(n+1)}.
y1: 1-\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{24}x^{4}+\cdots.
y2: x-\dfrac{1}{6}x^{3}-\dfrac{1}{12}x^{4}-\dfrac{1}{24}x^{5}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: dado recursivamente acima (não há forma elementar simples imediata).
(d) Recorrência: a_{n+2}=-\dfrac{a_{n}}{n+1}.
y1: 1-x^{2}+\dfrac{1}{3}x^{4}-\dfrac{1}{15}x^{6}+\cdots.
y2: x-\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{8}x^{5}-\dfrac{1}{48}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: a_{2m}=(-1)^{m}\dfrac{a_{0}}{(2m-1)!!},\;a_{2m+1}=(-1)^{m}\dfrac{a_{1}}{2^{m}m!}.
(e) Recorrência: a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n}.
y1: 1-\dfrac{1}{4}x^{2} (polinômio de grau 2).
y2: x-\dfrac{1}{12}x^{3}-\dfrac{1}{240}x^{5}-\dfrac{1}{2240}x^{7}+\cdots.
Wronskiano em 0: W(0)=1.
Termo geral: \;a_{n+2}=\dfrac{n-2}{4(n+2)}a_{n} (para pares a sequência zera a partir de a_{4}, gerando a solução polinomial; para ímpares o termo geral pode ser escrito como produto finito conforme o índice).

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