Nos itens abaixo, tente encontrar soluções da forma y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} para a EDO dada.
2 x y^{\prime \prime}(x)+3 y^{\prime}(x)+x y(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para tentar encontrar soluções da forma \displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} x^{n} para a EDO
2x\,y''(x)+3y'(x)+x\,y(x)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A EDO é linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de x.
  • Quer-se uma solução desenvolvida em série de potências centrada em x=0: coefficients a_n desconhecidos.
  • Não há condições iniciais: os coeficientes livres serão parâmetros da solução em série.

Passo 2

Vamos aplicar o método das séries de potências. Primeiro escrevo y e suas derivadas na forma de série:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}.
Expliquei: nas derivadas as somas começam em índices que eliminam termos nulos (por exemplo n(n-1)=0 para n=0,1), por isso os limites indicados.

Passo 3

Substituo as séries na EDO. Cada termo da EDO fica:
2x\,y''(x)=2x\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}=2\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-1},
3y'(x)=3\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
x\,y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}.
Somando tudo e exigindo que a série resultante seja a série nula (todos os coeficientes de x^k sejam zero) vamos encontrar relações entre os a_n.

Passo 4

Para combinar os termos, mudo índices para ter potências x^k. Faço k=n-1 nos dois primeiros somatórios e k=n+1 no último. O resultado reorganizado em potências x^k é:
2\sum_{k=1}^{\infty} (k+1)k\,a_{k+1} x^{k} \;+\; 3\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)a_{k+1} x^{k} \;+\; \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^{k}=0.
Agora igualo coeficiente por coeficiente de x^k a zero.

Passo 5

Analiso primeiro o caso k=0. Apenas o segundo somatório contribui para x^0, dando
3(0+1)a_1 = 3 a_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_1=0.
Portanto o coeficiente linear da série é zero.

Passo 6

Para k\ge 1 o coeficiente de x^k dá a relação
2(k+1)k\,a_{k+1} + 3(k+1)a_{k+1} + a_{k-1} = 0.
Factorizando (k+1):
(k+1)\bigl(2k+3\bigr) a_{k+1} + a_{k-1} = 0.
Isto fornece a recorrência
\boxed{\,a_{k+1} = -\,\dfrac{a_{k-1}}{(k+1)(2k+3)}\quad (k\ge 1)\, }.

Passo 7

Da recorrência vemos que cada coeficiente se relaciona com o de dois índices abaixo. Em particular, a_1=0 implica que todos os coeficientes ímpares serão zero: a_3,a_5,\dots=0. Assim só restam os coeficientes pares, que podem ser obtidos a partir de a_0.
É conveniente reescrever a recorrência para índices pares. Tomando k=2m-1 (com m\ge1) obtemos:
a_{2m} = -\,\frac{a_{2m-2}}{2m(4m+1)}\quad (m\ge1).
Isto é uma recorrência apenas entre coeficientes pares.

Passo 8

Agora expresso a_{2m} em função de a_0 por produto iterado. Aplicando a recorrência sucessivas vezes:
a_{2m}=a_0\;(-1)^m\prod_{j=1}^{m}\frac{1}{2j(4j+1)}.
Observação: para m=0 o produto vazio vale 1, recuperando a_0.

Passo 9

Calculo alguns termos iniciais para ver o padrão numérico:
a_2 = -\frac{a_0}{2\cdot(4+1)}=-\frac{a_0}{10},
a_4 = -\frac{a_2}{4\cdot(8+1)}=\frac{a_0}{360},
a_6 = -\frac{a_4}{6\cdot(12+1)}=-\frac{a_0}{28080},
a_8 = -\frac{a_6}{8\cdot(16+1)}=\frac{a_0}{3818880},
e assim por diante. Note o sinal alternado e que só aparecem potências pares.

Passo 10

Portanto a solução em série de potências centrada em zero (a solução analítica em x=0) é, tomando a_0 como parâmetro livre,
y(x)=a_0\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\left(\prod_{j=1}^{m}\frac{1}{2j(4j+1)}\right) x^{2m}.
Escrevendo os primeiros termos:
y(x)=a_0\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{10} + \tfrac{x^{4}}{360} - \tfrac{x^{6}}{28080} + \tfrac{x^{8}}{3818880} - \cdots\Bigr).

Passo 11

Curiosidade importante e interpretação do resultado (didática curta): a EDO tem um ponto singular em x=0 (o coeficiente do termo y'' é 2x, que se anula em 0), logo a teoria de Frobenius diz que podemos ter soluções do tipo x^r vezes série. Resolvendo a equação indicial obtemos r=0 e r=-\tfrac12. O caso r=0 foi o que produziu a série de potências acima. O outro expoente r=-\tfrac12 leva a uma segunda solução da forma x^{-1/2} vezes série (não representável por \sum_{n\ge0}a_n x^n regular em 0). Por isso existe apenas uma solução da forma pedida (série de potências regular em 0); a segunda solução é singular em x=0.

Resposta

y(x)=a_0\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\left(\prod_{j=1}^{m}\frac{1}{2j(4j+1)}\right) x^{2m} = a_0\Bigl(1 - \tfrac{x^{2}}{10} + \tfrac{x^{4}}{360} - \tfrac{x^{6}}{28080} + \cdots\Bigr).

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