Nos itens abaixo, tente encontrar soluções da forma
para a EDO dada.
Passo 1
O enunciado pede para tentar encontrar soluções da forma
para a EDO
Informações relevantes fornecidas:
- A EDO é linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. - Quer-se uma solução desenvolvida em série de potências centrada em
: coefficients desconhecidos. - Não há condições iniciais: os coeficientes livres serão parâmetros da solução em série.
Passo 2
Vamos aplicar o método das séries de potências. Primeiro escrevo
e suas derivadas na forma de série:
Expliquei: nas derivadas as somas começam em índices que eliminam termos nulos (por exemplo
para
), por isso os limites indicados.
Passo 3
Substituo as séries na EDO. Cada termo da EDO fica:
Somando tudo e exigindo que a série resultante seja a série nula (todos os coeficientes de
sejam zero) vamos encontrar relações entre os
.
Passo 4
Para combinar os termos, mudo índices para ter potências
. Faço
nos dois primeiros somatórios e
no último. O resultado reorganizado em potências
é:
Agora igualo coeficiente por coeficiente de
a zero.
Passo 5
Analiso primeiro o caso
. Apenas o segundo somatório contribui para
, dando
Portanto o coeficiente linear da série é zero.
Passo 6
Para
o coeficiente de
dá a relação
Factorizando
:
Isto fornece a recorrência
Passo 7
Da recorrência vemos que cada coeficiente se relaciona com o de dois índices abaixo. Em particular,
implica que todos os coeficientes ímpares serão zero:
. Assim só restam os coeficientes pares, que podem ser obtidos a partir de
.
É conveniente reescrever a recorrência para índices pares. Tomando
(com
) obtemos:
Isto é uma recorrência apenas entre coeficientes pares.
Passo 8
Agora expresso
em função de
por produto iterado. Aplicando a recorrência sucessivas vezes:
Observação: para
o produto vazio vale
, recuperando
.
Passo 9
Calculo alguns termos iniciais para ver o padrão numérico:
e assim por diante. Note o sinal alternado e que só aparecem potências pares.
Passo 10
Portanto a solução em série de potências centrada em zero (a solução analítica em
) é, tomando
como parâmetro livre,
Escrevendo os primeiros termos:
Passo 11
Curiosidade importante e interpretação do resultado (didática curta): a EDO tem um ponto singular em
(o coeficiente do termo
é
, que se anula em
), logo a teoria de Frobenius diz que podemos ter soluções do tipo
vezes série. Resolvendo a equação indicial obtemos
e
. O caso
foi o que produziu a série de potências acima. O outro expoente
leva a uma segunda solução da forma
vezes série (não representável por
regular em
). Por isso existe apenas uma solução da forma pedida (série de potências regular em
); a segunda solução é singular em
.