Nos itens (a) e (b), considere F=(P, Q, R) um campo vetorial em R^3 cujas componentes P, Q, R tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo o R^3.
Mostre que div(rot F)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a divergência do rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é igual a zero, ou seja, div(rot F) = 0. Estamos falando de cálculo vetorial, especificamente das operações de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar relembrar as definições dessas operações e aplicar as regras de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou rot F, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto e é dado por:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do rotacional. A divergência de um campo vetorial G = (G1, G2, G3) é dada por:
div G = partial G1partial x + partial G2partial y + partial G3partial z
Aplicando isso ao nosso rotacional:
div(rot F) = partialpartial x ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) + partialpartial y ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) + partialpartial z ( partial Qpartial x - partial Ppartial y )

Passo 4

Vamos expandir cada termo:
  1. partialpartial x ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) = partial^2 Rpartial x partial y - partial^2 Qpartial x partial z
  2. partialpartial y ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) = partial^2 Ppartial y partial z - partial^2 Rpartial y partial x
  3. partialpartial z ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) = partial^2 Qpartial z partial x - partial^2 Ppartial z partial y

Passo 5

Agora, somamos todos esses termos:
div(rot F) = ( partial^2 Rpartial x partial y - partial^2 Qpartial x partial z ) + ( partial^2 Ppartial y partial z - partial^2 Rpartial y partial x ) + ( partial^2 Qpartial z partial x - partial^2 Ppartial z partial y )

Passo 6

Observamos que alguns termos vão se cancelar:
  • partial^2 Rpartial x partial y e - partial^2 Rpartial y partial x se cancelam, pois são iguais com sinais opostos.
  • - partial^2 Qpartial x partial z e partial^2 Qpartial z partial x também se cancelam.
  • $ \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z}$ e partial^2 Ppartial y partial z igualmente se cancelam.

Resposta

Após os cancelamentos, restamos com 0. Portanto,
div(rot F) = 0

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