Nos itens (a) e (b), considere
um campo vetorial em
cujas componentes
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo o
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a divergência do rotacional de um campo vetorial
é igual a zero, ou seja,
. Estamos falando de cálculo vetorial, especificamente das operações de divergência e rotacional. Para resolver isso, vamos precisar relembrar as definições dessas operações e aplicar as regras de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, ou
, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto e é dado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do rotacional. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso rotacional:
Passo 4
Vamos expandir cada termo:
Passo 5
Agora, somamos todos esses termos:
Passo 6
Observamos que alguns termos vão se cancelar:
-
e se cancelam, pois são iguais com sinais opostos. -
e também se cancelam. - $ \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z}$ e
igualmente se cancelam.
Resposta
Após os cancelamentos, restamos com
. Portanto,