Verifique se a família indicada é solução da EDO dada.
d Pd t=P(1-P) com P(t)=c e^t1+c e^t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO logística dPdt=P(1-P) e a família de funções P(t)=c e^t1+c e^t. Vamos verificar se, ao calcular dPdt, obtemos exatamente P(1-P).

Passo 2

Calcular dPdt usando regra do quociente. Definindo u=c e^t e v=1+c e^t, temos u'=c e^t e v'=c e^t. Então:
dPdt=u'v-u v'v^2 =c e^t(1+c e^t)-c e^tcdot c e^t(1+c e^t)^2 =c e^t(1+c e^t)^2

Passo 3

Calcular P(1-P):
P(1-P)=c e^t1+c e^tl(1-c e^t1+c e^tr) =c e^t1+c e^tcdot1+c e^t-c e^t1+c e^t =c e^t(1+c e^t)^2

Passo 4

Comparar resultados: tanto dPdt quanto P(1-P) resultaram em c e^t(1+c e^t)^2. Portanto, a família dada satisfaz a EDO.

Resposta

Sim. A família P(t)=c e^t1+c e^t é solução da EDO dPdt=P(1-P).

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