resolva o problema de valor inicial.
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Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do problema. Queremos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
com a condição inicial $ y(\pi) = 1 $.
Para resolver, vamos utilizar métodos de equações diferenciais, como verificar se a equação é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante adequado.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Verificamos que $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, então a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $.
Para isso, usamos a condição:
Aplicando:
Como não conseguimos simplificar essa expressão para depender apenas de $ x $ ou apenas de $ y $, tentaremos uma abordagem diferente.
Passo 4
Vamos reescrever a equação diferencial para separá-la de forma que possamos integrar ambos os lados:
Agora, a equação está separada, com os termos em $ y $ de um lado e os termos em $ x $ do outro.
Passo 5
Vamos calcular as integrais de ambos os lados:
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito, usamos integração por partes:
Passo 6
Igualando as integrais e combinando as constantes:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = \pi $ e $ y = 1 $:
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é: