resolva o problema de valor inicial.
y(pi)=1,

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do problema. Queremos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
(y^2 sin x) , dx + (1x - yx) , dy = 0
com a condição inicial $ y(\pi) = 1 $.
Para resolver, vamos utilizar métodos de equações diferenciais, como verificar se a equação é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante adequado.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Aqui, temos:
M , dx + N , dy = 0
Calculando as derivadas parciais:
M
Verificamos que $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, então a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $.
Para isso, usamos a condição:
x
Aplicando:
mu(x) çã
Como não conseguimos simplificar essa expressão para depender apenas de $ x $ ou apenas de $ y $, tentaremos uma abordagem diferente.

Passo 4

Vamos reescrever a equação diferencial para separá-la de forma que possamos integrar ambos os lados:
y^2 sin x , dx + (1x - yx) , dy = 0 Rightarrow (1x - yx) , dy = - y^2 sin x , dx Rightarrow ( 1 - yx ) , dy = - y^2 sin x , dx Rightarrow 1 - yy^2 , dy = - x sin x , dx
Agora, a equação está separada, com os termos em $ y $ de um lado e os termos em $ x $ do outro.

Passo 5

Vamos calcular as integrais de ambos os lados:
integral ( 1y^2 - 1y ) , dy = integral - x sin x , dx
Integrando o lado esquerdo:
integral y^-2 , dy - integral y^-1 , dy = - y^-1 - ln |y| + C1
Integrando o lado direito, usamos integração por partes:
integral -x sin x , dx = x cos x - sin x + C2

Passo 6

Igualando as integrais e combinando as constantes:
- 1y - ln |y| = x cos x - sin x + C
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(\pi) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = \pi $ e $ y = 1 $:
y(pi) = 1

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é:
- 1y - ln y = x cos x - sin x + pi - 1

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