Determine uma equação do plano tangente à superfície yz-ln (x+z)=0 no ponto (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ yz - \ln(x + z) = 0 $ no ponto $ (0, 0, 1) $. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente, o conceito de planar tangente a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a cada variável. A superfície está dada por $ F(x, y, z) = yz - \ln(x + z) $. Então, vamos calcular $ F_x $, $ F_y $ e $ F_z $.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada em relação a $ x $: x
  • Derivada em relação a $ y $: Fx = partialpartial x(yz - ln(x + z)) = -1x + z
  • Derivada em relação a $ z $: y
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (0, 0, 1) $:
  • $ F_x(0, 0, 1) = -\frac{1}{0 + 1} = -1 $
  • $ F_y(0, 0, 1) = 1 $
  • $ F_z(0, 0, 1) = 0 - \frac{1}{0 + 1} = -1 $

Passo 4

Com as derivadas em mãos, a equação do plano tangente é dada por:
Fx(a, b, c)(x - a) + Fy(a, b, c)(y - b) + Fz(a, b, c)(z - c) = 0
Substituindo $ a = 0 $, $ b = 0 $, $ c = 1 $ e os valores das derivadas:
a = 0
Simplificando:
b = 0

Resposta

A equação do plano tangente é $ -x + y - z = -1 $.

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