Determine uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por $ yz - \ln(x + z) = 0 $ no ponto $ (0, 0, 1) $. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente, o conceito de planar tangente a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície em relação a cada variável. A superfície está dada por $ F(x, y, z) = yz - \ln(x + z) $. Então, vamos calcular $ F_x $, $ F_y $ e $ F_z $.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada em relação a $ x $:
- Derivada em relação a $ y $:
- Derivada em relação a $ z $:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ (0, 0, 1) $:
- $ F_x(0, 0, 1) = -\frac{1}{0 + 1} = -1 $
- $ F_y(0, 0, 1) = 1 $
- $ F_z(0, 0, 1) = 0 - \frac{1}{0 + 1} = -1 $
Passo 4
Com as derivadas em mãos, a equação do plano tangente é dada por:
Substituindo $ a = 0 $, $ b = 0 $, $ c = 1 $ e os valores das derivadas:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente é $ -x + y - z = -1 $.