1. Mostre que:
    а) i cdot j=j cdot k=k cdot i=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores unitários canônicos em R^3, isto é, i, j e k, são mutuamente ortogonais, ou seja,
icdotj ;=;jcdotk;=;kcdoti;=;0
Vamos usar a definição do produto escalar em coordenadas e as componentes desses vetores.

Passo 2

Definimos explicitamente as componentes dos vetores:
i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)
Esses vetores formam a base ortonormal padrão de R^3.

Passo 3

Recordando a definição do produto escalar entre a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3):
acdotb ;=; a1,b1 ;+; a2,b2 ;+; a3,b3

Passo 4

Calculemos primeiro icdotj. Como
i=(1,0,0) e j=(0,1,0), temos
icdotj =1cdot0 ;+;0cdot1 ;+;0cdot0 =0

Passo 5

Pelo mesmo raciocínio,
jcdotk =0cdot0+1cdot0+0cdot1=0, kcdoti =0cdot1+0cdot0+1cdot0=0
Portanto, todos os pares são ortogonais.

Resposta

icdotj = jcdotk = kcdoti = 0

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