Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=raiz[3]x, y=0, x=0, x=1, em torno do eixo x.

Passo 1

Neste exercício vamos rotacionar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=raiz[3]x, y=0, x=0 e x=1. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução pelo método dos discos, que usa a fórmula V=integrala^b pi [r(x)]^2,dx.

Passo 2

O raio do disco em cada x é a distância da curva ao eixo x, ou seja r(x)=y=raiz[3]x. Logo a área do disco é
A(x)=pi [raiz[3]x]^2=pi x^2/3
Assim o volume fica
V=integral0^1 A(x),dx=piintegral0^1 x^2/3,dx

Passo 3

Agora calculamos a integral de x^2/3:
integral x^2/3,dx=x^5/35/3=35x^5/3

Passo 4

Para finalizar, avaliamos entre 0 e 1:
V=pi[35x^5/3]0^1=picdot35(1-0)=3pi5

Resposta

3pi5

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