Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^2, y=6 x-2 x^2, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume gerado pela rotação da região limitada por y = x^2 e y = 6x - 2x^2 em torno do eixo x. O conteúdo envolvido é o método dos discos (ou anéis), e vamos precisar: 1) encontrar os pontos de interseção, 2) identificar qual curva fica acima da outra, e 3) montar e calcular a integral de volume usando V = piintegral (R^2 - r^2),dx.

Passo 2

Primeiro, encontramos as interseções resolvendo x^2 = 6x - 2x^2. Isso leva a
3x^2 - 6x = 0 Longrightarrow 3x(x - 2) = 0 Longrightarrow x = 0 ;ou; x = 2

Passo 3

No intervalo [0,2], comparamos as funções:
6x - 2x^2 - x^2 = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x),que é positivo em (0,2). Logo, y = 6x - 2x^2 está acima de y = x^2.

Passo 4

O volume pelo método dos discos é dado por
V = pi integral0^2 l[(raio externo)^2 - (raio interno)^2r] dx = pi integral0^2 l[(6x - 2x^2)^2 - (x^2)^2r] dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(6x - 2x^2)^2 = 4x^2(3 - x)^2 = 36x^2 - 24x^3 + 4x^4,logo
(6x - 2x^2)^2 - x^4 = 36x^2 - 24x^3 + 3x^4

Passo 6

Agora integramos:
integral0^2 (36x^2 - 24x^3 + 3x^4) dx = l[12x^3 - 6x^4 + tfrac35x^5r]0^2

Passo 7

Avaliando em x=2:
12cdot2^3 - 6cdot2^4 + tfrac35cdot2^5 = 96 - 96 + tfrac965 = tfrac965

Passo 8

Multiplicando por pi, obtemos o volume.

Resposta

V = 96pi5.

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