Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^2-6 x+10, y=-x^2+6 x-6 em torno do eixo x.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y = x^2 - 6x + 10 e y = -x^2 + 6x - 6. O conteúdo é o método dos discos (ou arruelas) e vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, identificar a função superior e inferior, montar o integral de pi(R^2 - r^2) e calcular.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos x^2 - 6x + 10 = -x^2 + 6x - 6. Reorganizando,
2x^2 - 12x + 16 = 0 Longrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0

Passo 3

As raízes são x = 2 e x = 4, então o intervalo de integração é de 2 a 4.

Passo 4

Para determinar qual curva fica acima, avaliamos em um ponto qualquer entre 2 e 4, por exemplo x=3:
y1 = 3^2 - 18 + 10 = 1 e y2 = -9 + 18 - 6 = 3. Logo,
superior: y = -x^2 + 6x -6, inferior: y = x^2 - 6x +10

Passo 5

Pelo método dos discos (arruelas), o volume é
V = integral2^4 pil[(-x^2 + 6x - 6)^2 - (x^2 - 6x + 10)^2r],dx

Passo 6

Expandindo a diferença de quadrados, note que
( -x^2 + 6x - 6)^2 - (x^2 - 6x + 10)^2 = -8l(x^2 - 6x + 8r)

Passo 7

Então o volume fica
V = -8pi integral2^4 l(x^2 - 6x + 8r),dx

Passo 8

Calculando a integral:
integral (x^2 - 6x + 8),dx = x^33 - 3x^2 + 8x,
avaliando de 2 a 4:
l(tfrac4^33 - 3cdot4^2 + 8cdot4r) - l(tfrac2^33 - 3cdot2^2 + 8cdot2r) = 163 - 203 = -43

Passo 9

Multiplicando por -8pi
V = -8pi times l(-tfrac43r) = 32pi3

Resposta

dfrac32pi3

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