Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo é o método dos discos (ou arruelas) e vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, identificar a função superior e inferior, montar o integral de
e calcular.
Passo 2
Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos
. Reorganizando,
Passo 3
As raízes são
e
, então o intervalo de integração é de 2 a 4.
Passo 4
Para determinar qual curva fica acima, avaliamos em um ponto qualquer entre 2 e 4, por exemplo
:
e
. Logo,
Passo 5
Pelo método dos discos (arruelas), o volume é
Passo 6
Expandindo a diferença de quadrados, note que
Passo 7
Então o volume fica
Passo 8
Calculando a integral:
avaliando de
Passo 9
Multiplicando por
dá