Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
, em torno do eixo
.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que precisamos: A região no plano é limitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos girar essa região em torno do eixo
e calcular o volume do sólido obtido. O método mais direto é o dos discos (ou lâminas), pois a rotação é em torno de um eixo vertical.
Passo 2
Determinar raio externo e interno: Para um dado
entre 1 e 2, a curva mais afastada do eixo
é
. Portanto, o raio externo do disco é
. Como a região está limitada por
, o raio interno é
.
Passo 3
Montar a integral do volume pelo método dos discos: O volume é dado por
Passo 4
Calcular o integrando e integrar: Expande-se
Logo,
Passo 5
Avaliar nos limites de integração: Calculamos em
:
Em
:
Subtraindo e multiplicando por
resulta