Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=1+y^2, x=0, y=1, y=2, em torno do eixo y.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos: A região no plano é limitada pelas curvas x=1+y^2, x=0, y=1 e y=2. Vamos girar essa região em torno do eixo y e calcular o volume do sólido obtido. O método mais direto é o dos discos (ou lâminas), pois a rotação é em torno de um eixo vertical.

Passo 2

Determinar raio externo e interno: Para um dado y entre 1 e 2, a curva mais afastada do eixo y é x=1+y^2. Portanto, o raio externo do disco é R(y)=1+y^2. Como a região está limitada por x=0, o raio interno é r(y)=0.

Passo 3

Montar a integral do volume pelo método dos discos: O volume é dado por
V=integraly=1^y=2 pil[R(y)^2 - r(y)^2r],dy =piintegral1^2 (1+y^2)^2,dy

Passo 4

Calcular o integrando e integrar: Expande-se
(1+y^2)^2 = 1 + 2y^2 + y^4
Logo,
V=piintegral1^2 l(1 + 2y^2 + y^4r),dy =pil[y + tfrac23y^3 + tfrac15y^5r]1^2

Passo 5

Avaliar nos limites de integração: Calculamos em y=2:
2 + tfrac23cdot 8 + tfrac15cdot 32 = 2 + tfrac163 + tfrac325 = tfrac20615
Em y=1:
1 + tfrac23 + tfrac15 = tfrac2815
Subtraindo e multiplicando por pi resulta
V=pil(tfrac20615 - tfrac2815r)=tfrac178pi15

Resposta

V=tfrac178pi15

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