Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x=y^2+1, x=2, em torno do eixo y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada por x=y^2+1 e x=2 em torno da reta y=-1. O conteúdo principal é o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas), e vamos precisar montar uma integral em y.

Passo 2

Primeiro, buscamos os limites de integração em y. Igualando y^2+1=2 temos y^2=1, então y=-1 até y=1.
No método dos casquilhos cilíndricos, consideramos uma faixa horizontal em y de espessura dy. A distância (raio) até o eixo y=-1 é r=y-(-1)=y+1. A altura do casquilho é a diferença em x: 2-(y^2+1)=1-y^2.

Passo 3

O volume é dado por
V=integraly=-1^1 2pi,(raio)times(a

Passo 4

Expandindo o integrando:
(y+1)(1-y^2)=y+1-y^3-y^2=-y^3 -y^2 +y+1
Integrando de -1 a 1: termos ímpares somam zero, então
integral-1^1(-y^3 -y^2 +y+1),dy=integral-1^1(-y^2+1),dy=-tfrac23+2=tfrac43 Multiplicando por 2pi, o volume fica
V=2pitimestfrac43=tfrac8pi3

Resposta

8pi3

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