Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens n=0,1,2,3 e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
ln (1+x)

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Maclaurin de ordem n=0,1,2,3,4 e a série em notação de somatório para a função ln(1+x). O conteúdo é expansão em série de Taylor em torno de zero (Maclaurin), para isso vamos precisar das derivadas de ln(1+x) avaliadas em zero e da fórmula do polinômio de Taylor.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas de f(x)=ln(1+x) e avaliando em x=0:
f(0)=0.
f'(x)=11+x então f'(0)=1.
f''(x)=-1(1+x)^2 então f''(0)=-1.
f'''(x)=2(1+x)^3 então f'''(0)=2.
f^(4)(x)=-6(1+x)^4 então f^(4)(0)=-6.

Passo 3

A fórmula do polinômio de Maclaurin de ordem n é
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!x^k
Substituindo as derivadas obtidas para n=0,1,2,3,4, obtemos os polinômios:
P0(x)=0,
P1(x)=x,
P2(x)=x-x^22,
P3(x)=x-x^22+x^33,
P4(x)=x-x^22+x^33-x^44.

Passo 4

Para obter a série de Maclaurin completa, reconhecemos o padrão alternado dos coeficientes e escrevemos:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn Esta expressão compacta reúne todos os termos além da ordem 4 e descreve a expansão infinita da função.

Resposta

P0(x)=0, P1(x)=x, P2(x)=x-x^22, P3(x)=x-x^22+x^33, P4(x)=x-x^22+x^33-x^44.
A série de Maclaurin em notação de somatório é:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn

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