Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens
e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
Passo 1
O enunciado pede os polinômios de Maclaurin de ordem
e a série em notação de somatório para a função
. O conteúdo é expansão em série de Taylor em torno de zero (Maclaurin), para isso vamos precisar das derivadas de
avaliadas em zero e da fórmula do polinômio de Taylor.
Passo 2
Começamos calculando as derivadas de
e avaliando em
:
.
então
.
então
.
então
.
então
.
Passo 3
A fórmula do polinômio de Maclaurin de ordem
é
Substituindo as derivadas obtidas para
, obtemos os polinômios:
,
,
,
,
.
Passo 4
Para obter a série de Maclaurin completa, reconhecemos o padrão alternado dos coeficientes e escrevemos:
Resposta
A série de Maclaurin em notação de somatório é: