Nos itens a seguir, determine se a série se a série é convergente ou não.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa analisar a série
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente p-séries e teste de comparação.
Passo 2
Teoria de p-séries: uma p-série é
e ela converge se, e somente se,
Passo 3
Aplicação do teste de comparação: note que para todo
vale
Logo,
e, invertendo,
$$\frac{1}{(2k-1)^{1/3}} > \frac{1}{2{1/3}k{1/3}}.
$$
Passo 4
Como a série
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2{1/3}k{1/3}} = \frac{1}{2{1/3}}\sum_{k=1}{\infty} \frac{1}{k^{1/3}}
$$é uma p-série com
e, portanto, diverge, pelo teste de comparação a nossa série original também diverge.
Passo 5
Conclusão: como encontramos uma série menor que a nossa que já diverge, concluímos que a série dada diverge.
Resposta
A série diverge.