Nos itens a seguir, determine se a série se a série é convergente ou não.
sumk=1^+infty 1raiz[3]2 k-1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa analisar a série sumk=1^infty 1raiz[3]2k-1 e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente p-séries e teste de comparação.

Passo 2

Teoria de p-séries: uma p-série é
sumn=1^infty 1n^p
e ela converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, estamos lidando com um expoente p=tfrac13, que é menor que 1.

Passo 3

Aplicação do teste de comparação: note que para todo k>=1 vale
2k-1 < 2k
Logo,
(2k-1)^1/3 < (2k)^1/3 = 2^1/3k^1/3
e, invertendo,
$$\frac{1}{(2k-1)^{1/3}} > \frac{1}{2{1/3}k{1/3}}.
$$

Passo 4

Como a série
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2{1/3}k{1/3}} = \frac{1}{2{1/3}}\sum_{k=1}{\infty} \frac{1}{k^{1/3}}
$$é uma p-série com sumk=1^infty 12^1/3k^1/3 = 12^1/3sumk=1^infty 1k^1/3 e, portanto, diverge, pelo teste de comparação a nossa série original também diverge.

Passo 5

Conclusão: como encontramos uma série menor que a nossa que já diverge, concluímos que a série dada diverge.

Resposta

A série diverge.

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