Nos itens a seguir, dada a função periódica
, no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função
é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para
e
(indicar o software utilizado).
Passo 1
O enunciado pede para construir a série de Fourier da função periódica de período 2π definida por f(t)=−1 em (−π,0) e f(t)=1 em (0,π), identificar se f é par ou ímpar e discutir o impacto disso na série, e por fim esboçar as aproximações parciais para n=1,5,10,30 e 50.
Passo 2
Observamos que f(−t)=−f(t), logo f é função ímpar. Isso implica que o coeficiente a₀=0 e todos os aₙ=0, pois em séries de Fourier de funções ímpares só aparecem termos em seno.
Passo 3
Pela definição geral da série de Fourier de período 2π, os coeficientes são dados por:
Como f é ímpar, as integrais de f(t) e f(t)cos(nt) em (−π,π) são zero. Logo
Passo 4
Calculamos bₙ por definição:
Fazendo as integrais, chega-se a bₙ=0 para n par e bₙ=4/(πn) para n ímpar.
Passo 5
Portanto, a série de Fourier fica
Aqui aparecem apenas senos ímpares, refletindo que f é ímpar.
Passo 6
As aproximações parciais para n=1,5,10,30 e 50 foram traçadas usando Python com Matplotlib. Observa-se a aproximação da onda quadrada e o fenômeno de Gibbs próximo aos pontos de descontinuidade.
Resposta
A série de Fourier de f(t) é:
sendo f ímpar (apenas senos aparecem) e os esboços para n=1,5,10,30 e 50 feitos com Python/Matplotlib.