Nos itens a seguir, dada a função periódica f(t), no intervalo definido: construir a Série de Fourier, por definição; definir se a função f(t) é par ou ímpar e qual o impacto na construção da Série de Fourier; e esboçar a série obtida para n=1, n=5, n=10, n=30 e n=50 (indicar o software utilizado).
f(t)=c -1,-pi

Passo 1

O enunciado pede para construir a série de Fourier da função periódica de período 2π definida por f(t)=−1 em (−π,0) e f(t)=1 em (0,π), identificar se f é par ou ímpar e discutir o impacto disso na série, e por fim esboçar as aproximações parciais para n=1,5,10,30 e 50.

Passo 2

Observamos que f(−t)=−f(t), logo f é função ímpar. Isso implica que o coeficiente a₀=0 e todos os aₙ=0, pois em séries de Fourier de funções ímpares só aparecem termos em seno.

Passo 3

Pela definição geral da série de Fourier de período 2π, os coeficientes são dados por:
a0=1piintegral-pi^pif(t),dt, an=1piintegral-pi^pif(t)cos(nt),dt, bn=1piintegral-pi^pif(t)sin(nt),dt
Como f é ímpar, as integrais de f(t) e f(t)cos(nt) em (−π,π) são zero. Logo
a0=0, an=0 (forall n)

Passo 4

Calculamos bₙ por definição:
bn=1pil(integral-pi^0(-1)sin(nt),dt+integral0^pi1cdotsin(nt),dtr)
Fazendo as integrais, chega-se a bₙ=0 para n par e bₙ=4/(πn) para n ímpar.

Passo 5

Portanto, a série de Fourier fica
f(t)simsumk=1^infty4pi(2k-1)sinl((2k-1)tr)
Aqui aparecem apenas senos ímpares, refletindo que f é ímpar.

Passo 6

As aproximações parciais para n=1,5,10,30 e 50 foram traçadas usando Python com Matplotlib. Observa-se a aproximação da onda quadrada e o fenômeno de Gibbs próximo aos pontos de descontinuidade.

Resposta

A série de Fourier de f(t) é:
f(t)=sumk=1^infty4pi(2k-1),sinl((2k-1)tr),
sendo f ímpar (apenas senos aparecem) e os esboços para n=1,5,10,30 e 50 feitos com Python/Matplotlib.

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