Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens
e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os polinômios de Maclaurin de ordem 0, 1, 2, 3 e 4 para
e, depois, escrever a série de Maclaurin em notação de somatório. Vamos usar desenvolvimento em série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin), o que requer calcular as derivadas de
em
e aplicar a fórmula geral.
Passo 2
A fórmula do polinômio de Maclaurin de grau
para
é
Como
, suas derivadas satisfazem
, logo
Substituindo na fórmula geral obtemos
Passo 3
Para
calculamos explicitamente:
Passo 4
A série de Maclaurin para
é o limite de
quando
. Em notação de somatório, fica:
Resposta
Os polinômios de Maclaurin são:
A série de Maclaurin é: