Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens n=0,1,2,3 e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
e^-x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os polinômios de Maclaurin de ordem 0, 1, 2, 3 e 4 para f(x)=e^-x e, depois, escrever a série de Maclaurin em notação de somatório. Vamos usar desenvolvimento em série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin), o que requer calcular as derivadas de f em x=0 e aplicar a fórmula geral.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Maclaurin de grau n para f é
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k
Como f(x)=e^-x, suas derivadas satisfazem f^(k)(x)=(-1)^k e^-x, logo
f^(k)(0)=(-1)^k
Substituindo na fórmula geral obtemos
Pn(x)=sumk=0^n(-1)^kk!,x^k

Passo 3

Para n=0,1,2,3,4 calculamos explicitamente:
P0(x)=1, P1(x)=1 - x, P2(x)=1 - x + x^22, P3(x)=1 - x + x^22 - x^36, P4(x)=1 - x + x^22 - x^36 + x^424

Passo 4

A série de Maclaurin para e^-x é o limite de Pn(x) quando ntoinfty. Em notação de somatório, fica:
sumk=0^infty (-1)^kk!,x^k

Resposta

Os polinômios de Maclaurin são:
P0(x)=1, P1(x)=1 - x, P2(x)=1 - x + x^22, P3(x)=1 - x + x^22 - x^36, P4(x)=1 - x + x^22 - x^36 + x^424
A série de Maclaurin é:
sumk=0^infty (-1)^kk!,x^k

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