Nos itens a seguir, determine se a série converge e, se ocorrer, ache a sua soma
sumk=1^+infty 4^k+27^k-1

Passo 1

A série dada é sumk=1^infty4^k+27^k-1. O conteúdo aqui é séries geométricas infinitas e vamos precisar reconhecer a forma a,r^k, usar o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma quando convergente.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral:Agora a série fica n4^k+27^k-1=4^kcdot4^27^k/7=4^kcdot16cdot77^k=112(47)^k.

Passo 3

Reconhecemos que é uma série geométrica de razão r=tfrac47. Como |r|=tfrac47<1, a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas do tipo sumk=1^inftyCr^k com |r|<1, a soma é Cdfracr1-r. Aqui C=112 e r=tfrac47, então:

Passo 5

Basta calcular a fração:

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac4483.

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