Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens
e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar os polinômios de Maclaurin de ordem n=0,1,2,3,4 para a função f(x)=x·sen(x) e depois montar a série de Maclaurin em forma de somatório. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de x=0 (que é a série de Maclaurin):
Tₙ(x)=∑_{j=0}^n f{(j)}(0)·xj/j!
Passo 2
Primeiro, derivamos f(x)=x·sen(x) e avaliamos em x=0 para montar T₀ e T₁. Aplicando a regra do produto:
f(x)=x·sen(x)
f’(x)=sen(x)+x·cos(x)
f’(x)=sen(x)+x·cos(x)
Logo,
f(0)=0·sen(0)=0
f’(0)=sen(0)+0·cos(0)=0
f’(0)=sen(0)+0·cos(0)=0
Isso dá:
T₀(x)=f(0)=0
T₁(x)=f(0)+f’(0)x=0
T₁(x)=f(0)+f’(0)x=0
Passo 3
Agora calculamos f’’(x) e f’’’(x) para T₂ e T₃. Derivando f’(x)=sen(x)+x·cos(x):
f’’(x)=cos(x)+cos(x)−x·sen(x)=2·cos(x)−x·sen(x)
E a terceira derivada:
f’’’(x)=−2·sen(x)−(sen(x)+x·cos(x))=−3·sen(x)−x·cos(x)
Avaliações em x=0:
f’’(0)=2·1−0=2
f’’’(0)=0
f’’’(0)=0
Então:
T₂(x)=T₁(x)+f’’(0)x²/2!=0+2·x²/2= x²
T₃(x)=T₂(x)+f’’’(0)x³/3!= x² + 0 = x²
T₃(x)=T₂(x)+f’’’(0)x³/3!= x² + 0 = x²
Passo 4
Por fim, calculamos f⁽⁴⁾(0) para T₄. Derivando f’’’(x)=−3·sen(x)−x·cos(x):
f⁽⁴⁾(x)=−3·cos(x)−(cos(x)−x·sen(x))=−4·cos(x)+x·sen(x)
Em x=0:
f⁽⁴⁾(0)=−4·1+0=−4
Logo:
T₄(x)=T₃(x)+f⁽⁴⁾(0)x⁴/4!= x² + (−4)·x⁴/24 = x² − x⁴/6
Passo 5
Para achar a forma de somatório, percebemos que sen(x) já tem expansão:
sen(x)=∑_{k=0}^∞ (−1)^k x^{2k+1}/(2k+1)!
Multiplicando por x:
x·sen(x)=∑_{k=0}^∞ (−1)^k x^{2k+2}/(2k+1)!
E isso é exatamente a série de Maclaurin da nossa função.
Resposta
Os polinômios de Maclaurin são:
T₀(x)=0
T₁(x)=0
T₂(x)=x²
T₃(x)=x²
T₄(x)=x² − \tfrac{x⁴}{6}
A série de Maclaurin em notação de somatório é: