Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens n=0,1,2,3 e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
cos (pi x)

Passo 1

O enunciado pede para achar os polinômios de Maclaurin de ordens n=0,1,2,3 e 4 para a função f(x)=cos(πx) e depois a série de Maclaurin em notação de somatório. Para isso usamos a fórmula de Maclaurin:
Tn(x)=sumk=0^n f^(k)(0)k!x^k
e precisamos calcular as derivadas de f(x)=cos(πx) em x=0 até quarta ordem.

Passo 2

Calcular f(0) e f’(0). Sabendo que f(x)=cos(πx), temos:
f(0)=cos(0)=1, f'(x)=-pisin(pi x)implies f'(0)=0
Logo, os polinômios de Maclaurin de ordens 0 e 1 são:
P0(x)=1, P1(x)=1

Passo 3

Calcular f’’(0) e f’’’(0). Temos:
f''(x)=-pi^2cos(pi x)implies f''(0)=-pi^2, f'''(x)=pi^3sin(pi x)implies f'''(0)=0
Então:
P2(x)=1+f''(0)2!x^2=1-pi^22x^2, P3(x)=P2(x)

Passo 4

Calcular f’’’’(0). Temos:
f''''(x)=pi^4cos(pi x)implies f''''(0)=pi^4
Portanto:
P4(x)=P2(x)+f''''(0)4!x^4=1-pi^22x^2+pi^424x^4

Passo 5

Identificar o padrão dos termos pares: note que somente derivadas de ordem 2k são não nulas em x=0 e valem f{(2k)}(0)=(-1)k\pi^{2k}. Logo o termo geral da série é
(-1)^kpi^2k(2k)!x^2k
e a Série de Maclaurin em notação de somatório fica:
cos(pi x)=sumk=0^infty(-1)^kpi^2k(2k)!x^2k

Resposta

P0(x)=1
P1(x)=1
P2(x)=1-tfracpi^22x^2
P3(x)=1-tfracpi^22x^2
P4(x)=1-tfracpi^22x^2+tfracpi^424x^4
Série de Maclaurin:
cos(pi x)=sumk=0^infty(-1)^kpi^2k(2k)!x^2k

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