Nos itens a seguir, ache os polinômios de Maclaurin de ordens
e 4, e, então, ache a Série de Maclaurin para a função em notação de somatório.
Passo 1
O enunciado pede para achar os polinômios de Maclaurin de ordens n=0,1,2,3 e 4 para a função f(x)=cos(πx) e depois a série de Maclaurin em notação de somatório. Para isso usamos a fórmula de Maclaurin:
e precisamos calcular as derivadas de f(x)=cos(πx) em x=0 até quarta ordem.
Passo 2
Calcular f(0) e f’(0). Sabendo que f(x)=cos(πx), temos:
Logo, os polinômios de Maclaurin de ordens 0 e 1 são:
Passo 3
Calcular f’’(0) e f’’’(0). Temos:
Então:
Passo 4
Calcular f’’’’(0). Temos:
Portanto:
Passo 5
Identificar o padrão dos termos pares: note que somente derivadas de ordem 2k são não nulas em x=0 e valem f{(2k)}(0)=(-1)k\pi^{2k}. Logo o termo geral da série é
e a Série de Maclaurin em notação de somatório fica:
Resposta
Série de Maclaurin: