Nos itens a seguir, ache os polinômios de Taylor de ordens n=0,1,2,3 e 4 em torno de x=x0, e, então, ache a Série de Taylor para a função em notação de somatório.
1x ; x0=-1

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordens n=0,1,2,3,4 para a função f(x)=1x em torno de x0=-1. Para resolver, vamos usar a fórmula de Taylor:
Tn(x)=sumk=0^n f^(k)(x0)k!,(x-x0)^k

Passo 2

Primeiro, encontramos a expressão geral das derivadas de f(x)=x^-1. Observando os padrões, temos
f^(n)(x)=(-1)^n,n!,x^-(n+1)

Passo 3

Avaliando em x0=-1,
f^(n)(-1)=(-1)^n,n!,(-1)^-(n+1)=-n!
Isso significa que
f^(n)(-1)n!=-1
para todo n.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor, o polinômio de ordem n fica
Tn(x)=sumk=0^n (-1),(x+1)^k=-sumk=0^n (x+1)^k

Passo 5

Para n=0,1,2,3,4, explicitamente:
  • T0(x)=-sumk=0^0(x+1)^k=-1
  • T1(x)=-sumk=0^1(x+1)^k=-(1+(x+1))
  • T2(x)=-sumk=0^2(x+1)^k=-(1+(x+1)+(x+1)^2)
  • T3(x)=-sumk=0^3(x+1)^k=-(1+(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3)
  • T4(x)=-sumk=0^4(x+1)^k=-(1+(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3+(x+1)^4)

Passo 6

A Série de Taylor (infinita) da função em torno de x0=-1 é
sumk=0^infty f^(k)(-1)k!(x+1)^k=-sumk=0^infty (x+1)^k

Resposta

Os polinômios de Taylor de ordens n=0,1,2,3,4 em torno de x0=-1 são:
T0(x)=-1,
T1(x)=-(1+(x+1)),
T2(x)=-(1+(x+1)+(x+1)^2),
T3(x)=-(1+(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3),
T4(x)=-(1+(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3+(x+1)^4)
A Série de Taylor em notação de somatório é
-sumk=0^infty (x+1)^k

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