Nos itens a seguir, apresentamos subconjuntos de M_{2 \times 2}. Verifique quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais em relação às operações usuais de adição e multiplicação. Justifique. S=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right]: a, b, c \in \mathbb{R}\right\}. (conjunto das matrizes triangulares superiores)
é um subespaço vetorial de \,M_{2\times2}\, quando usamos as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Informação dada: todo elemento de S é uma matriz 2\times2 cuja entrada na posição (2,1) (linha 2, coluna 1) é igual a \,0.]
Passo 2
O que precisamos verificar (definição prática de subespaço): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
W não é vazio (ou equivalentemente contém a matriz nula),
W é fechado sob soma: para quaisquer X,Y\in W temos X+Y\in W,
W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e X\in W temos \lambda X\in W.
Vou checar cada condição. Explicando: “fechado” significa que ao aplicar a operação dentro do conjunto, você continua dentro do conjunto.
Passo 3
Verificando que S não é vazio (checa presença da matriz zero).
A matriz nula em M_{2\times2} é
Observe que a entrada (2,1) do resultado continua sendo 0. Como a_1+a_2, b_1+b_2, c_1+c_2 são reais, a soma pertence a S. Portanto S é fechado por soma.]
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar — cálculo direto.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\in S.
Então
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]\lambda\cdot 0 & \lambda c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]0 & \lambda c\end{pmatrix}.
A entrada (2,1) continua sendo 0, e \lambda a,\lambda b,\lambda c\in\mathbb{R}, logo \lambda X\in S. Assim S é fechado por multiplicação por escalar.]
Passo 6
Comentário alternativo (intuição e prova curta): podemos ver S como o conjunto de matrizes em que a função que pega a entrada (2,1) vale zero. Defina a transformação linear
Então S=\ker T. Como núcleo (kernel) de uma transformação linear é sempre subespaço, isso dá outra forma curta de concluir que S é subespaço.]
Passo 7
Conclusão final e ânimo: mostramos que S contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar; portanto S satisfaz os requisitos de subespaço. Tá feito — números e contas simples, você consegue aplicar isso rápido na prova!