Nos itens a seguir, apresentamos subconjuntos de M_{2 \times 2}. Verifique quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais em relação às operações usuais de adição e multiplicação. Justifique.
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\ 0 & c\end{array}\right]: a, b, c \in \mathbb{R}\right\}. (conjunto das matrizes triangulares superiores)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}: a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial de \,M_{2\times2}\, quando usamos as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Informação dada: todo elemento de S é uma matriz 2\times2 cuja entrada na posição (2,1) (linha 2, coluna 1) é igual a \,0.]

Passo 2

O que precisamos verificar (definição prática de subespaço): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém a matriz nula),
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer X,Y\in W temos X+Y\in W,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e X\in W temos \lambda X\in W.
    Vou checar cada condição. Explicando: “fechado” significa que ao aplicar a operação dentro do conjunto, você continua dentro do conjunto.

Passo 3

Verificando que S não é vazio (checa presença da matriz zero).
A matriz nula em M_{2\times2} é
0_{2\times2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Escolhendo a=0, b=0, c=0 vemos que 0_{2\times2}\in S. Portanto S não é vazio e contém o elemento neutro aditivo.]

Passo 4

Fechamento por soma — cálculo direto.
Sejam duas matrizes arbitrárias de S:
X=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[4pt]0 & c_1\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[4pt]0 & c_2\end{pmatrix},
com a_i,b_i,c_i\in\mathbb{R}. A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt]0+0 & c_1+c_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt]0 & c_1+c_2\end{pmatrix}.
Observe que a entrada (2,1) do resultado continua sendo 0. Como a_1+a_2, b_1+b_2, c_1+c_2 são reais, a soma pertence a S. Portanto S é fechado por soma.]

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar — cálculo direto.
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & c\end{pmatrix}\in S.
Então
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]\lambda\cdot 0 & \lambda c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]0 & \lambda c\end{pmatrix}.
A entrada (2,1) continua sendo 0, e \lambda a,\lambda b,\lambda c\in\mathbb{R}, logo \lambda X\in S. Assim S é fechado por multiplicação por escalar.]

Passo 6

Comentário alternativo (intuição e prova curta): podemos ver S como o conjunto de matrizes em que a função que pega a entrada (2,1) vale zero. Defina a transformação linear
T:M_{2\times2}\to\mathbb{R},\qquad T\!\left(\begin{pmatrix}x & y\\[4pt]z & w\end{pmatrix}\right)=z.
Então S=\ker T. Como núcleo (kernel) de uma transformação linear é sempre subespaço, isso dá outra forma curta de concluir que S é subespaço.]

Passo 7

Conclusão final e ânimo: mostramos que S contém a matriz zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar; portanto S satisfaz os requisitos de subespaço. Tá feito — números e contas simples, você consegue aplicar isso rápido na prova!

Resposta

S é subespaço vetorial de M_{2\times2}.

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