Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
Informações dadas relevantes:
Informações dadas relevantes:
-
é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a . -
é definido como todos os polinômios que podem ser escritos como multiplicado por algum em .
Passo 2
Lembrete importante (definição mínima que vamos usar): para um conjunto
ser subespaço de
é necessário, no mínimo, que
. Ou seja, todo elemento de
precisa ser um polinômio de grau
. Se
não for sequer subconjunto, já falha em ser subespaço.
Passo 3
Vamos verificar se todos os elementos de
estão realmente em
. Tome um exemplo explícito e simples: escolha
Esse polinômio satisfaz
porque seu grau é
. Agora forme o elemento correspondente de
:
Observe que
é um polinômio de grau
. Logo
porque
contém apenas polinômios de grau
. Assim encontramos um elemento de
que não pertence a
. Conclusão:
.
Passo 4
Como
não é subconjunto de
, ele não pode ser um subespaço de
. (Não precisamos nem checar fechamento por soma ou por multiplicação escalar porque a condição de estar contido no espaço ambiente já falhou.)
Se a intenção fosse obter um subespaço formado por polinômios múltiplos de que fiquem dentro de
, a definição correta seria
Se a intenção fosse obter um subespaço formado por polinômios múltiplos de
pois
então teria grau
. Esse conjunto é de fato subespaço de
; é o subespaço dos polinômios de
que têm termo constante igual a zero (base típica
). Força aí — você já viu a ideia chave: se algo “sai” do espaço ambiente (aqui gera grau 4), já era!
Resposta
U não é subespaço de
.