Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ? Justifique sua resposta.
U=\left\{x p(x) \mid p(x) \in \mathcal{P}_{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto U=\{x\,p(x)\mid p(x)\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\} é um subespaço do espaço vetorial \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Informações dadas relevantes:
  • \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o conjunto dos polinômios com coeficientes reais e grau menor ou igual a 3.
  • U é definido como todos os polinômios que podem ser escritos como x multiplicado por algum p(x) em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 2

Lembrete importante (definição mínima que vamos usar): para um conjunto W ser subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é necessário, no mínimo, que W\subseteq\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Ou seja, todo elemento de W precisa ser um polinômio de grau \le 3. Se W não for sequer subconjunto, já falha em ser subespaço.

Passo 3

Vamos verificar se todos os elementos de U estão realmente em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Tome um exemplo explícito e simples: escolha
p(x)=x^{3}.
Esse polinômio satisfaz p(x)\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) porque seu grau é 3. Agora forme o elemento correspondente de U:
x\,p(x)=x\cdot x^{3}=x^{4}.
Observe que x^{4} é um polinômio de grau 4. Logo x^{4}\notin\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) porque \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) contém apenas polinômios de grau \le 3. Assim encontramos um elemento de U que não pertence a \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Conclusão: U\not\subseteq\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 4

Como U não é subconjunto de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), ele não pode ser um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). (Não precisamos nem checar fechamento por soma ou por multiplicação escalar porque a condição de estar contido no espaço ambiente já falhou.)
Se a intenção fosse obter um subespaço formado por polinômios múltiplos de x que fiquem dentro de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), a definição correta seria
\{x\,q(x)\mid q(x)\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\},
pois x\cdot q(x) então teria grau \le 3. Esse conjunto é de fato subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}); é o subespaço dos polinômios de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) que têm termo constante igual a zero (base típica \{x,x^{2},x^{3}\}). Força aí — você já viu a ideia chave: se algo “sai” do espaço ambiente (aqui gera grau 4), já era!

Resposta

U não é subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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