A terceira coluna de K é formada por zeros: todos os elementos da terceira coluna são 0.
O que o enunciado pede:
Encontrar K^{-1} (a inversa de K) usando o algoritmo de inversão (Gauss–Jordan).]
Passo 2
Breve explicação do algoritmo de inversão que vamos usar (passo-a-passo didático):
Para uma matriz quadrada A, o método padrão é formar a matriz aumentada [A\\ |\\ I], onde I é a matriz identidade da mesma ordem.
Aplicam-se operações elementares sobre as linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra) até transformar o bloco esquerdo em I.
Se for possível transformar o bloco esquerdo em I, o bloco direito resultante será A^{-1}.
Se não for possível obter I no bloco esquerdo (por exemplo, porque não há pivôs suficientes), então A não é invertível.
Vamos escrever a matriz aumentada [K\\ |\\ I_4] explicitamente (peguei os dados da matriz do enunciado):
Observação crucial sobre a terceira coluna: ela é inteiramente nula (todos os seus elementos são 0). Vou explicar didaticamente por que isso é determinante para a possibilidade de inverter K.
O que as operações elementares sobre as linhas fazem, em termos simples:
Cada operação sobre linhas transforma cada linha nova em uma combinação linear das linhas originais.
Portanto, cada entrada de uma coluna após operações de linha é uma combinação linear dos elementos originais dessa mesma coluna.
Pense assim, de forma bem concreta:
Se a terceira coluna inicial é (0,0,0,0)^\top, então qualquer múltiplo de uma linha que envolva esses zeros continua sendo zero.
Se você soma linhas (ou soma múltiplos de linhas), como todos os termos da coluna eram zero, a soma também dará zero nessa coluna.
Multiplicar uma linha por um escalar também mantém zero como zero.
Logo, qualquer combinação linear das linhas originais dá zero na terceira coluna.
Em linguagem um pouco mais compacta (mas ainda intuitiva): operações elementares sobre linhas não conseguem criar um número não nulo em uma posição se, naquela coluna, todos os elementos originais eram zero. A terceira coluna permanecerá nula durante todo o processo de eliminação.
Passo 4
Consequência direta do Passo 3 para a tentativa de obter a inversa:
Para que o bloco esquerdo da matriz aumentada se torne a identidade I_4, a terceira coluna do bloco esquerdo deveria tornar-se a coluna canônica (0,0,1,0)^\top (ou, mais geralmente, deveria conter um pivô 1 em alguma linha correspondente e zeros nas outras).
Mas pela razão explicada no Passo 3, a terceira coluna da parte esquerda da matriz aumentada permanecerá sempre (0,0,0,0)^\top ao longo de todas as operações de linha.
Isso é incompatível com a coluna (0,0,1,0)^\top (ou qualquer coluna canônica necessária para formar I_4). Portanto é impossível transformar o bloco esquerdo em I_4.
Uma forma rápida de ver isso: a presença de uma coluna nula em K implica que as colunas de K são linearmente dependentes (uma das colunas é o vetor zero), então K não tem posto pleno 4. Uma matriz com posto menor que a ordem não é invertível.
Passo 5
Conclusão final do raciocínio e ligação com a definição de inversa:
Como não é possível obter o bloco esquerdo igual a I_4 a partir de [K\\ |\\ I_4] usando operações elementares sobre as linhas, o algoritmo de inversão falha — isto é, K não possui inversa.
Outra maneira curta de ver: qualquer matriz que tenha uma coluna inteira nula tem determinante zero; determinante zero significa matriz singular (não-invertível).
Fica a dica para a prova: ao ver uma coluna (ou linha) toda zerada você já pode concluir imediatamente que a matriz não é invertível, sem necessidade de aplicar todo o procedimento de Gauss–Jordan. Isso economiza tempo e evita trabalho desnecessário.