Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . -
é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a . -
é o conjunto de todos os polinômios obtidos ao multiplicar por algum polinômio de .
Não vou resolver aqui; apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Lembrete importante (definição usada): para verificar que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço, basta checar três coisas equivalentes (vamos usar a forma curta):
-
não é vazio (ou contém o vetor zero). -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Vou verificar essas propriedades para.
Passo 3
Descrevendo elementos de
explicitamente. Um polinômio genérico de
é
com
. Então um elemento genérico de
é
Note que todo polinômio em
tem termo constante igual a
, ou seja,
para
. Além disso, se
e
, escrevendo
com
, vemos que
e
. Portanto podemos também caracterizar
Vou usar essas descrições para as verificações.
Passo 4
Verificação de não vazio / presença do vetor zero.
O polinômio nulo pertence a
. Tomando
temos
, logo
. Assim
não é vazio e contém o vetor zero.
O polinômio nulo
Passo 5
Fechamento por soma.
Sejam . Então existem
tais que
Sejam
A soma é
Como
é fechado sob soma,
. Portanto
tem a forma
vezes um polinômio de
, isto é,
. Logo
é fechado por soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação por escalar.
Seja e
com
,
. Então
Seja
Como
, segue que
. Assim
é fechado por multiplicação por escalares.
Passo 7
Conclusão do teste de subespaço.
Vimos que contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, pelas condições de subespaço,
é um subespaço de
.
Vimos que
Passo 8
Observação adicional (útil na prova): uma base e a dimensão de
.
Pelo formato , os vetores
geram
e são linearmente independentes, logo formam uma base de
. Assim
. Como
,
é um subespaço próprio (não é todo
).
Pelo formato