Quais dos conjuntos abaixo são subespaços de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) ? Justifique sua resposta.
U=\left\{x p(x) \mid p(x) \in \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\right\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto U=\left\{x p(x) \mid p(x)\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\right\} é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Informações dadas:
  • \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3.
  • \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2.
  • U é o conjunto de todos os polinômios obtidos ao multiplicar x por algum polinômio de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).
    Não vou resolver aqui; apenas deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): para verificar que um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço, basta checar três coisas equivalentes (vamos usar a forma curta):
  1. U não é vazio (ou contém o vetor zero).
  2. U é fechado sob soma: se u_1,u_2\in U então u_1+u_2\in U.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalares: se u\in U e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in U.
    Vou verificar essas propriedades para U.

Passo 3

Descrevendo elementos de U explicitamente. Um polinômio genérico de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é
p(x)=a x^{2}+b x+c,
com a,b,c\in\mathbb{R}. Então um elemento genérico de U é
x p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
Note que todo polinômio em U tem termo constante igual a 0, ou seja, q(0)=0 para q\in U. Além disso, se q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e q(0)=0, escrevendo q(x)=d_{3}x^{3}+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0} com d_{0}=0, vemos que
q(x)=x(d_{3}x^{2}+d_{2}x+d_{1})
e d_{3}x^{2}+d_{2}x+d_{1}\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Portanto podemos também caracterizar
U=\{q\in\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\mid q(0)=0\}.
Vou usar essas descrições para as verificações.

Passo 4

Verificação de não vazio / presença do vetor zero.
O polinômio nulo 0 pertence a \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Tomando p(x)=0 temos x p(x)=0, logo 0\in U. Assim U não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 5

Fechamento por soma.
Sejam u_{1},u_{2}\in U. Então existem p_{1},p_{2}\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tais que
u_{1}=x p_{1}(x),\qquad u_{2}=x p_{2}(x).
A soma é
u_{1}+u_{2}=x p_{1}(x)+x p_{2}(x)=x\bigl(p_{1}(x)+p_{2}(x)\bigr).
Como \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é fechado sob soma, p_{1}+p_{2}\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Portanto u_{1}+u_{2} tem a forma x vezes um polinômio de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), isto é, u_{1}+u_{2}\in U. Logo U é fechado por soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação por escalar.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e u\in U com u=x p(x), p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Então
\alpha u=\alpha\bigl(x p(x)\bigr)=x\bigl(\alpha p(x)\bigr).
Como \alpha p(x)\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), segue que \alpha u\in U. Assim U é fechado por multiplicação por escalares.

Passo 7

Conclusão do teste de subespaço.
Vimos que U contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares. Portanto, pelas condições de subespaço, U é um subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 8

Observação adicional (útil na prova): uma base e a dimensão de U.
Pelo formato a x^{3}+b x^{2}+c x, os vetores \{x,x^{2},x^{3}\} geram U e são linearmente independentes, logo formam uma base de U. Assim \dim U=3. Como \dim\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})=4, U é um subespaço próprio (não é todo \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})).

Resposta

U é subespaço de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

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