Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a função definida por
. - Pedido: calcular a derivada em relação a
dessa função, ou seja, encontrar . - Informação útil retirada do enunciado: o limite superior da integral é
(função de ); o integrando é .
Passo 2
Fórmula básica que vamos usar (explicada de forma simples):
- Se
com contínua, então pela definição do integral e do limite:
Isto significa que a derivada em relação ao limite superior é simplesmente o integrando avaliado naquele limite superior.
- Agora, se o limite superior é uma função
(em vez de ), então compomos com e aplicamos a regra da cadeia:
Esse resultado é direto: primeiro avalia-se o integrando no ponto variável
e depois multiplica-se pela derivada de
.
Passo 3
Identificar
e
no problema:
- Aqui
. - E o limite superior é
.
Pela fórmula do passo anterior,
Passo 4
Calcular
:
- Usando
e a regra do quociente:
Portanto
.
Passo 5
Substituir e simplificar usando identidades trigonométricas:
- Temos
- Usar a identidade trigonométrica fundamental
- Assim a expressão fica
Observação de domínio: a conta só faz sentido quando
e
estão definidos, ou seja, para
com
.