Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}} d t\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a função definida por \displaystyle x \mapsto \int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
  • Pedido: calcular a derivada em relação a x dessa função, ou seja, encontrar \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt\right).
  • Informação útil retirada do enunciado: o limite superior da integral é \operatorname{tg} x (função de x); o integrando é \dfrac{1}{1+t^{2}}.

Passo 2

Fórmula básica que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Se F(u)=\displaystyle\int_{a}^{u} f(t)\,dt com f contínua, então pela definição do integral e do limite:
F'(u)=f(u).
Isto significa que a derivada em relação ao limite superior é simplesmente o integrando avaliado naquele limite superior.
  • Agora, se o limite superior é uma função g(x) (em vez de u=x), então compomos F com g e aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Esse resultado é direto: primeiro avalia-se o integrando no ponto variável g(x) e depois multiplica-se pela derivada de g(x).

Passo 3

Identificar f e g no problema:
  • Aqui f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • E o limite superior é g(x)=\operatorname{tg} x.
    Pela fórmula do passo anterior,
\frac{d}{dx}\left(\int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt\right) = f(g(x))\cdot g'(x) = \frac{1}{1+(\operatorname{tg} x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big).

Passo 4

Calcular g'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big):
  • Usando \operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big) =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto g'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Substituir e simplificar usando identidades trigonométricas:
  • Temos
\frac{1}{1+(\operatorname{tg} x)^{2}}\cdot \operatorname{sec}^{2}x =\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{1+\tan^{2}x}.
  • Usar a identidade trigonométrica fundamental
1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Assim a expressão fica
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{sec}^{2}x}=1.
Observação de domínio: a conta só faz sentido quando \operatorname{tg} x e \operatorname{sec} x estão definidos, ou seja, para x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\frac{d}{dx}\left(\int_{2}^{\operatorname{tg} x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt\right)=1,\qquad x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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