Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da função
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são dependentes de
: limite inferior e limite superior . - A operação pedida é
aplicada a essa integral.
Passo 2
Vamos usar uma regra geral (resultado do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia): se
então
Explicando devagar:
é a função dentro da integral;
e
são os limites que dependem de
. A ideia é expressar a integral como
, onde
é uma primitiva de
(ou seja,
), e então derivar usando a regra da cadeia:
.
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso problema:
-
. -
e . -
e .
Portanto
Passo 4
Simplificando a expressão anterior: note que
, logo
Substituindo,
Passo 5
Comentário didático e reforço: outra maneira é notar que
é uma função par (porque depende de
), então
Derivando isso via Teorema Fundamental do Cálculo dá
, chegando ao mesmo resultado. Exemplo rápido similar:
pelo mesmo raciocínio (função
é par).