Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left[\int_{-x}^{x} \cos \left(t^{2}+1\right) d t\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função
F(x)=\int_{-x}^{x}\cos\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos\bigl(t^{2}+1\bigr).
  • Os limites de integração são dependentes de x: limite inferior -x e limite superior x.
  • A operação pedida é \dfrac{d}{dx} aplicada a essa integral.

Passo 2

Vamos usar uma regra geral (resultado do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia): se
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Explicando devagar: f(t) é a função dentro da integral; u(x) e v(x) são os limites que dependem de x. A ideia é expressar a integral como H(v(x))-H(u(x)), onde H é uma primitiva de f (ou seja, H'(t)=f(t)), e então derivar usando a regra da cadeia: H'(v(x))v'(x)-H'(u(x))u'(x)=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso problema:
  • f(t)=\cos\bigl(t^{2}+1\bigr).
  • v(x)=x e v'(x)=1.
  • u(x)=-x e u'(x)=-1.
Portanto
\frac{d}{dx}\!\left[\int_{-x}^{x}\cos\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt\right] = \cos\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 1 - \cos\bigl((-x)^{2}+1\bigr)\cdot(-1).

Passo 4

Simplificando a expressão anterior: note que (-x)^{2}=x^{2}, logo
\cos\bigl((-x)^{2}+1\bigr)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Substituindo,
\frac{d}{dx}\!\left[\int_{-x}^{x}\cos\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt\right] = \cos\bigl(x^{2}+1\bigr)+\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) =2\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Comentário didático e reforço: outra maneira é notar que f(t)=\cos(t^{2}+1) é uma função par (porque depende de t^{2}), então
\int_{-x}^{x}f(t)\,dt=2\int_{0}^{x}f(t)\,dt.
Derivando isso via Teorema Fundamental do Cálculo dá 2f(x)=2\cos(x^{2}+1), chegando ao mesmo resultado. Exemplo rápido similar: \dfrac{d}{dx}\int_{-x}^{x}t^{2}\,dt=2x^{2} pelo mesmo raciocínio (função t^{2} é par).

Resposta

2\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)

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