Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\operatorname{tg} e^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \dfrac{d y}{d x} quando
y=\operatorname{tg} e^{\sqrt{x}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função y é composta: é a tangente (escrita aqui como \operatorname{tg}) aplicada à função e^{\sqrt{x}}.
  • Preciso encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} em termos de x.

Passo 2

Conceito importante que vou usar: regra da cadeia. Vou explicar de forma simples e com exemplo.
Regra da cadeia (versão verbal): se uma função y é composta, isto é, y=f(g(x)), então a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui f é a função externa e g a função interna. Exemplo concreto e rápido: se h(x)=(3x+1)^2, então f(u)=u^2 e g(x)=3x+1. Assim
h'(x)=2(3x+1)\cdot 3.
Isso é aplicar f'(u)=2u com u=g(x), e multiplicar por g'(x)=3.

Passo 3

Identificar as camadas (funções internas) da composição em y=\operatorname{tg} e^{\sqrt{x}}.
Posso ver três níveis:
  • Função mais externa: f(u)=\operatorname{tg}(u).
  • Função do meio: u=v(x)=e^{\sqrt{x}}.
  • Função mais interna: v(x)=e^{w(x)} com w(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Vou aplicar a regra da cadeia em etapas: derivar a externa em relação à interna, multiplicar pela derivada da interna, e assim por diante.

Passo 4

Derivada da função externa f(u)=\operatorname{tg}(u).
Fórmula: a derivada da tangente é
\frac{d}{du}\big(\operatorname{tg}(u)\big)=\operatorname{sec}^2(u).
Observação: \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}, então \operatorname{sec}^2(u)=\dfrac{1}{\cos^2(u)}. Em notação da regra da cadeia, isso dá um fator \operatorname{sec}^2\big(e^{\sqrt{x}}\big) quando substituímos u=e^{\sqrt{x}}.

Passo 5

Derivada da função do meio u(x)=e^{\sqrt{x}}.
Regra: para u(x)=e^{v(x)} tem-se
\frac{du}{dx}=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Aqui v(x)=\sqrt{x}. Portanto vai aparecer um fator e^{\sqrt{x}} multiplicando v'(x).

Passo 6

Derivada da função mais interna w(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Regra potência: se w(x)=x^{n} então w'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Isso vale para x>0 (domínio natural da raiz quadrada real).

Passo 7

Agora junto tudo pela regra da cadeia, multiplicando os fatores obtidos nas etapas anteriores.
Passos de multiplicação (esquema):
  • derivada da externa: \operatorname{sec}^2\big(e^{\sqrt{x}}\big),
  • vezes derivada do meio: e^{\sqrt{x}}\cdot (derivada da raiz),
  • vezes derivada da raiz: \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Multiplicando:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^2\big(e^{\sqrt{x}}\big)\cdot e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Posso reescrever de forma mais compacta e habitual como
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\;\operatorname{sec}^2\!\big(e^{\sqrt{x}}\big).

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\operatorname{sec}^2\!\big(e^{\sqrt{x}}\big)

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