Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
quando
Informações dadas e o que é pedido:
- A função
é composta: é a tangente (escrita aqui como ) aplicada à função . - Preciso encontrar a derivada
em termos de .
Passo 2
Conceito importante que vou usar: regra da cadeia. Vou explicar de forma simples e com exemplo.
Regra da cadeia (versão verbal): se uma função
é composta, isto é,
, então a derivada é
Aqui
é a função externa e
a função interna. Exemplo concreto e rápido: se
, então
e
. Assim
Isso é aplicar
com
, e multiplicar por
.
Passo 3
Identificar as camadas (funções internas) da composição em
.
Posso ver três níveis:
Posso ver três níveis:
- Função mais externa:
. - Função do meio:
. - Função mais interna:
com .
Vou aplicar a regra da cadeia em etapas: derivar a externa em relação à interna, multiplicar pela derivada da interna, e assim por diante.
Passo 4
Derivada da função externa
.
Fórmula: a derivada da tangente é
Fórmula: a derivada da tangente é
Observação:
, então
. Em notação da regra da cadeia, isso dá um fator
quando substituímos
.
Passo 5
Derivada da função do meio
.
Regra: para tem-se
Regra: para
Aqui
. Portanto vai aparecer um fator
multiplicando
.
Passo 6
Derivada da função mais interna
.
Regra potência: se então
. Aplicando com
:
Regra potência: se
Isso vale para
(domínio natural da raiz quadrada real).
Passo 7
Agora junto tudo pela regra da cadeia, multiplicando os fatores obtidos nas etapas anteriores.
Passos de multiplicação (esquema):
- derivada da externa:
, - vezes derivada do meio:
(derivada da raiz), - vezes derivada da raiz:
.
Multiplicando:
Posso reescrever de forma mais compacta e habitual como