O enunciado pede claramente para calcular \dfrac{dy}{dx} quando
y = e^{e^{x}}.
Informações dadas:
A função é uma composição: primeiro x aparece dentro de e^{x}, e depois esse resultado aparece como expoente de outra exponencial e^{(\cdot)}.
Não há parâmetros nem constantes extras.
Passo 2
Lembra do que acontece com a derivada da função exponencial simples \,e^{t}\,? A regra básica é:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t},
ou seja, a derivada de \,e^{t}\, em relação a t é ela mesma. Aqui a variável no expoente pode ser qualquer função de x, e aí entra a regra da cadeia.
Passo 3
Apresentando a Regra da Cadeia de forma clara: se y = f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Explicando: primeiro deriva-se a função externa f avaliando-a na função interna g(x), depois multiplica-se pela derivada da função interna g(x). É como “derivar de fora para dentro” e multiplicar pelos fatores que aparecem em cada passo.
Passo 4
No nosso caso, identifique as funções externa e interna:
Função externa: f(u)=e^{u}.
Função interna: u=g(x)=e^{x}.
Vou calcular as derivadas parciais:
Derivada da externa em relação a u: \dfrac{df}{du}=e^{u}.
Derivada da interna em relação a x: \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x} (pela regra do passo 2).