Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=e^{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede claramente para calcular \dfrac{dy}{dx} quando
y = e^{e^{x}}.
Informações dadas:
  • A função é uma composição: primeiro x aparece dentro de e^{x}, e depois esse resultado aparece como expoente de outra exponencial e^{(\cdot)}.
  • Não há parâmetros nem constantes extras.

Passo 2

Lembra do que acontece com a derivada da função exponencial simples \,e^{t}\,? A regra básica é:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t},
ou seja, a derivada de \,e^{t}\, em relação a t é ela mesma. Aqui a variável no expoente pode ser qualquer função de x, e aí entra a regra da cadeia.

Passo 3

Apresentando a Regra da Cadeia de forma clara: se y = f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Explicando: primeiro deriva-se a função externa f avaliando-a na função interna g(x), depois multiplica-se pela derivada da função interna g(x). É como “derivar de fora para dentro” e multiplicar pelos fatores que aparecem em cada passo.

Passo 4

No nosso caso, identifique as funções externa e interna:
  • Função externa: f(u)=e^{u}.
  • Função interna: u=g(x)=e^{x}.
Vou calcular as derivadas parciais:
  • Derivada da externa em relação a u: \dfrac{df}{du}=e^{u}.
  • Derivada da interna em relação a x: \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x} (pela regra do passo 2).

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{df}{du}\bigg|_{u=g(x)}\cdot\frac{du}{dx} = e^{u}\cdot e^{x}.
Agora substitui u=g(x)=e^{x}:
\frac{dy}{dx}=e^{e^{x}}\cdot e^{x}.

Passo 6

Opcionalmente podemos escrever a resposta de forma compacta usando propriedades de exponenciais:
\frac{dy}{dx}=e^{e^{x}+x},
mas a forma e^{e^{x}}\,e^{x} deixa claro a aplicação da regra da cadeia, então é a forma que recomendo na prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=e^{e^{x}}\,e^{x}

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