Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
e pede para calcular \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um quociente de expressões exponenciais.
  • Deve-se encontrar a derivada em função de x (ou em forma equivalente em termos de y).

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada da exponencial: para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}\big(e^{a x}\big)=a\,e^{a x}.
No nosso caso aparecem e^{x} (derivada e^{x}) e e^{-x} (derivada -e^{-x} porque a=-1).
  • Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. Esta fórmula vem direto da definição de derivada e da regra do produto/chain; na prova basta lembrar a fórmula e aplicá-la com cuidado.

Passo 3

Identificar as partes do quociente:
u(x)=e^{x}-e^{-x},\qquad v(x)=e^{x}+e^{-x}.
Calcular u'(x) e v'(x) usando a derivada da exponencial:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)-\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=e^{x}-(-e^{-x})=e^{x}+e^{-x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=e^{x}+(-e^{-x})=e^{x}-e^{-x}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{(e^{x}+e^{-x})(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})(e^{x}-e^{-x})}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}.

Passo 5

Simplificar o numerador. Denotando A=e^{x}+e^{-x} e B=e^{x}-e^{-x}, o numerador é A^{2}-B^{2}. Expandindo explicitamente:
(e^{x}+e^{-x})^{2} = e^{2x}+2+e^{-2x},
(e^{x}-e^{-x})^{2} = e^{2x}-2+e^{-2x},
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(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}= (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x})=4.
Portanto o numerador simplifica para 4.

Passo 6

Substituindo a simplificação na expressão de y':
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}.
Esta já é uma forma perfeitamente correta e simples. Podemos ainda apresentar formas equivalentes úteis na prova:
  • Usando \operatorname{cosh} x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} tem-se e^{x}+e^{-x}=2\operatorname{cosh} x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{(2\operatorname{cosh} x)^{2}}=\frac{4}{4\operatorname{cosh}^{2}x}=\operatorname{sech}^{2}x.
  • Observando que y=\operatorname{tanh} x (pois \operatorname{tanh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}), sabe-se que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh} x=\operatorname{sech}^{2}x. Assim outra forma muito prática é escrever a derivada em função de y:
\frac{dy}{dx}=1-y^{2},
porque \operatorname{sech}^{2}x=1-\operatorname{tanh}^{2}x e \operatorname{tanh} x=y.

Passo 7

Resumo prático para a prova (o que vale decorar/usar rápido): para y=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} tem-se
\frac{dy}{dx}=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}=\operatorname{sech}^{2}x=1-y^{2}.
Vai dar tudo certo — respira, revise esse procedimento (identificar u,v, calcular u',v', aplicar quociente e simplificar) e repete mais uma vez com outro quociente parecido que você encontrar. Força!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}= \operatorname{sech}^{2}x = 1-y^{2}

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