Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um quociente de expressões exponenciais.
- Deve-se encontrar a derivada em função de
(ou em forma equivalente em termos de ).
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da exponencial: para qualquer constante
,
No nosso caso aparecem
(derivada
) e
(derivada
porque
).
- Regra do quociente: se
então
Aqui
e
são as derivadas de
e
. Esta fórmula vem direto da definição de derivada e da regra do produto/chain; na prova basta lembrar a fórmula e aplicá-la com cuidado.
Passo 3
Identificar as partes do quociente:
Calcular
e
usando a derivada da exponencial:
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Passo 5
Simplificar o numerador. Denotando
e
, o numerador é
. Expandindo explicitamente:
logo
Portanto o numerador simplifica para
.
Passo 6
Substituindo a simplificação na expressão de
:
Esta já é uma forma perfeitamente correta e simples. Podemos ainda apresentar formas equivalentes úteis na prova:
- Usando
tem-se , então
- Observando que
(pois ), sabe-se que . Assim outra forma muito prática é escrever a derivada em função de :
porque
e
.
Passo 7
Resumo prático para a prova (o que vale decorar/usar rápido): para
tem-se
Vai dar tudo certo — respira, revise esse procedimento (identificar
, calcular
, aplicar quociente e simplificar) e repete mais uma vez com outro quociente parecido que você encontrar. Força!