Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular \dfrac{d y}{d x} para
y=\frac{e^{x}}{x}.
Informações dadas: a função é a divisão de e^{x} por x. A tarefa é encontrar a derivada dessa função em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: é conveniente reescrever a função como produto para usar a regra do produto, que é uma ferramenta básica e direta. Reescrevendo,
y = e^{x}\cdot x^{-1}.
Isto transforma a razão em um produto entre e^{x} e x^{-1}.

Passo 3

Lembrete da regra do produto (fórmula e significado): se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x e v'(x) a derivada de v.

Passo 4

Calcular as derivadas das partes:
  • Para u(x)=e^{x} vale a regra básica da exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Para v(x)=x^{-1} usamos a regra da potência: se \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, então com n=-1 obtemos
\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com u(x)=e^{x} e v(x)=x^{-1}:
\frac{d y}{d x}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=e^{x}\cdot x^{-1}+e^{x}\cdot\big(-x^{-2}\big).

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica passo a passo:
\frac{d y}{d x}= \frac{e^{x}}{x}-\frac{e^{x}}{x^{2}}.
Colocando em denominador comum x^{2}:
\frac{d y}{d x}= \frac{e^{x}x}{x^{2}}-\frac{e^{x}}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}.
Também se pode fatorar e^{x} obtendo a mesma forma.

Passo 7

(Verificação rápida — opcional) Usando a regra da quociente para \dfrac{e^{x}}{x}, com f(x)=e^{x} e g(x)=x,
\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}=\frac{e^{x}\cdot x - e^{x}\cdot 1}{x^{2}}=\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}},
o que confirma o resultado.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}

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