Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos lembrar uma coisa fundamental sobre antiderivadas (primitivas) e a integral definida: se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
No nosso caso, precisamos de uma primitiva de
. Uma primitiva conhecida e muito usada é a função logaritmo natural. Especificamente,
para
. Aqui os limites estão em
, então podemos usar simplesmente
(sem valor absoluto). Assim uma primitiva de
é
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com
, obtemos
Agora usamos propriedades do logaritmo:
e
, portanto
. Também
. Substituindo:
Portanto o valor da integral é
.
Passo 4
Como verificação alternativa — um truque que às vezes aparece na prova — faça a substituição
. Então
e quando
temos
, quando
temos
. A integral fica
Isso confirma o resultado anterior.
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova: reconheça que
tem primitiva
; aplique
; use
e
. Respira fundo — é direto quando se lembra dessa primitiva!