Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{1}^{e^{2}} \frac{d x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e^{2}} \frac{dx}{x}.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{x}.
  • Os limites de integração são x=1 (limite inferior) e x=e^{2} (limite superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos lembrar uma coisa fundamental sobre antiderivadas (primitivas) e a integral definida: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, precisamos de uma primitiva de f(x)=\dfrac{1}{x}. Uma primitiva conhecida e muito usada é a função logaritmo natural. Especificamente,
\frac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\frac{1}{x}
para x\neq 0. Aqui os limites estão em x>0, então podemos usar simplesmente \ln x (sem valor absoluto). Assim uma primitiva de \dfrac{1}{x} é
F(x)=\ln x.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=\ln x, obtemos
\int_{1}^{e^{2}} \frac{dx}{x} = F\big(e^{2}\big)-F(1) = \ln\big(e^{2}\big)-\ln(1).
Agora usamos propriedades do logaritmo: \ln\big(e^{2}\big)=2\ln e e \ln e=1, portanto \ln\big(e^{2}\big)=2. Também \ln(1)=0. Substituindo:
\ln\big(e^{2}\big)-\ln(1)=2-0.
Portanto o valor da integral é 2.

Passo 4

Como verificação alternativa — um truque que às vezes aparece na prova — faça a substituição x=e^{t}. Então dx=e^{t}dt e quando x=1 temos t=0, quando x=e^{2} temos t=2. A integral fica
\int_{0}^{2} \frac{e^{t}}{e^{t}}\,dt=\int_{0}^{2} 1\,dt = \big[t\big]_{0}^{2}=2.
Isso confirma o resultado anterior.

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova: reconheça que \dfrac{1}{x} tem primitiva \ln|x|; aplique F(b)-F(a); use \ln(e^{2})=2 e \ln(1)=0. Respira fundo — é direto quando se lembra dessa primitiva!

Resposta

2

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