Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\operatorname{tg} 2 x+\operatorname{sec} 2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\big(\operatorname{tg}2x+\sec2x\big)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{tg}2x+\sec2x.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{6}.
    Objetivo claro: encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Para lidar com argumentos 2x é conveniente fazer a mudança de variável \,u=2x. Explico passo a passo:
  • Se \,u=2x então \,du=2\,dx ou seja \,dx=\dfrac{du}{2}.
  • Os limites mudam: quando x=0 tem-se u=0; quando x=\dfrac{\pi}{6} tem-se u=2\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}.
    Aplicando isso na integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\big(\operatorname{tg}2x+\sec2x\big)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\big(\operatorname{tg}u+\operatorname{sec} u\big)\,du.

Passo 3

Agora precisamos das primitivas de \operatorname{tg}u e de \operatorname{sec} u. Começo por \operatorname{tg}u.
Lembrando que \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Então:
\int \operatorname{tg}u\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Fazendo a substituição v=\cos u (logo dv=-\sin u\,du) obtemos
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = -\int \frac{dv}{v} = -\ln|v| + C = -\ln|\cos u| + C.
Portanto
\int \operatorname{tg}u\,du = -\ln|\cos u| + C.

Passo 4

Agora a primitiva de \operatorname{sec} u. Há um truque padrão: multiplicar integrando por \dfrac{\operatorname{sec} u+\operatorname{tg}u}{\operatorname{sec} u+\operatorname{tg}u} e usar uma substituição.
Começando,
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\operatorname{tg}u)}{\operatorname{sec} u+\operatorname{tg}u}\,du.
Se definirmos t=\operatorname{sec} u+\operatorname{tg}u então
dt = (\operatorname{sec} u\tan u + \operatorname{sec}^2 u)\,du = \operatorname{sec} u(\tan u+\operatorname{sec} u)\,du,
que é precisamente o numerador multiplicado por du. Assim
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|\operatorname{sec} u + \operatorname{tg}u| + C.
Portanto
\int \operatorname{sec} u\,du = \ln|\operatorname{sec} u + \operatorname{tg}u| + C.

Passo 5

Somando as duas primitivas (já que a integral é da soma) obtemos uma primitiva para o integrando:
F(u) = -\ln|\cos u| + \ln|\operatorname{sec} u + \operatorname{tg}u|.
Logo a integral definida transforma-se em
\frac{1}{2}\bigl[F(u)\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\bigl(F(\tfrac{\pi}{3})-F(0)\bigr).

Passo 6

Calcular F(\tfrac{\pi}{3}) e F(0) usando valores trigonométricos conhecidos.
  • Para u=\dfrac{\pi}{3}: \cos\!\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}, \sin\!\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{tg}\!\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \operatorname{sec}\!\dfrac{\pi}{3}=2. Então
F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = -\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) + \ln\!\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).
Como -\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln 2, isso dá
F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right) = \ln 2 + \ln\!\bigl(2+\sqrt{3}\bigr) = \ln\!\bigl(2(2+\sqrt{3})\bigr).
  • Para u=0: \cos 0=1, \operatorname{tg}0=0, \operatorname{sec} 0=1, assim
F(0) = -\ln 1 + \ln(1+0) = 0.
Portanto a integral vale
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(2(2+\sqrt{3})\bigr)=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(4+2\sqrt{3}\bigr).
Observe a simplificação algébrica
\bigl(\sqrt{3}+1\bigr)^2 = 3+1+2\sqrt{3}=4+2\sqrt{3},
o que permite escrever
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(4+2\sqrt{3}\bigr) = \frac{1}{2}\ln\!\bigl((\sqrt{3}+1)^2\bigr) = \ln\!\bigl(\sqrt{3}+1\bigr).

Resposta

\ln\!\bigl(1+\sqrt{3}\bigr)

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