Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
e .
Objetivo claro: encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Para lidar com argumentos
é conveniente fazer a mudança de variável
. Explico passo a passo:
- Se
então ou seja . - Os limites mudam: quando
tem-se ; quando tem-se .
Aplicando isso na integral:
Passo 3
Agora precisamos das primitivas de
e de
. Começo por
.
Lembrando que . Então:
Lembrando que
Fazendo a substituição
(logo
) obtemos
Portanto
Passo 4
Agora a primitiva de
. Há um truque padrão: multiplicar integrando por
e usar uma substituição.
Começando,
Começando,
Se definirmos
então
que é precisamente o numerador multiplicado por
. Assim
Portanto
Passo 5
Somando as duas primitivas (já que a integral é da soma) obtemos uma primitiva para o integrando:
Logo a integral definida transforma-se em
Passo 6
Calcular
e
usando valores trigonométricos conhecidos.
- Para
: , , , . Então
Como
, isso dá
- Para
: , , , assim
Portanto a integral vale
Observe a simplificação algébrica
o que permite escrever