Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{2}^{4} \frac{d x}{x \ln ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{2}^{4} \frac{dx}{x\ln^{2}x}.
Dados importantes que já temos do enunciado:
  • Limites de integração: x=2 até x=4.
  • Integrando: \dfrac{1}{x\ln^{2}x}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Escolher uma substituição útil. Observação prática: a presença de x no denominador junto com \ln x sugere a substituição
u=\ln x,
porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, que aparece multiplicando dx no integrando. Isso costuma simplificar integrais do tipo envolvendo \ln x.

Passo 3

Calcular diferencial e trocar os limites. Derivando u=\ln x obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx.
Logo \dfrac{dx}{x}=du. Também atualizamos os limites usando u=\ln x:
\text{quando } x=2,\; u=\ln 2;\qquad \text{quando } x=4,\; u=\ln 4.
Substituindo tudo na integral original:
\int_{2}^{4}\frac{dx}{x\ln^{2}x}=\int_{\ln 2}^{\ln 4}\frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. A função u^{-2} tem primitiva dada por
\int u^{-2}\,du=\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C,
porque ao derivar -u^{-1} volta-se a u^{-2}. Assim, aplicando os limites:
\int_{\ln 2}^{\ln 4}\frac{1}{u^{2}}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u=\ln 4} =-\frac{1}{\ln 4}-\Big(-\frac{1}{\ln 2}\Big)=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 4}.

Passo 5

Simplificar a expressão final. Usar \ln 4=\ln(2^{2})=2\ln 2. Portanto
\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 4}=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2\ln 2}=\frac{1}{2\ln 2}.
Este é o valor final da integral definida.

Resposta

\dfrac{1}{2\ln 2}

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