Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Dados importantes que já temos do enunciado:
- Limites de integração:
até . - Integrando:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Escolher uma substituição útil. Observação prática: a presença de
no denominador junto com
sugere a substituição
porque a derivada de
é
, que aparece multiplicando
no integrando. Isso costuma simplificar integrais do tipo envolvendo
.
Passo 3
Calcular diferencial e trocar os limites. Derivando
obtemos
Logo
. Também atualizamos os limites usando
:
Substituindo tudo na integral original:
Passo 4
Calcular a integral em
. A função
tem primitiva dada por
porque ao derivar
volta-se a
. Assim, aplicando os limites:
Passo 5
Simplificar a expressão final. Usar
. Portanto
Este é o valor final da integral definida.