Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{\operatorname{sen} t} d t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função definida pela integral
\frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{\operatorname{sen} t}\, dt\right).
Informações dadas:
  • A expressão dentro da derivada é a integral de variável inferior x até a constante 3.
  • A função integranda é t\mapsto \sqrt{\operatorname{sen} t}.
  • A variável de diferenciação é x.
    Observação sobre domínio (apenas para garantir que tudo faça sentido): a fórmula que vamos usar supõe que a integranda seja contínua no intervalo considerado. Para \sqrt{\operatorname{sen} t} ser real e contínua precisamos que \operatorname{sen} t\ge 0 (ou, mais geralmente, que a função seja integrável e suficientemente regular) no intervalo entre x e 3. Vou assumir que o enunciado está formulado dentro desse domínio onde a integral e a derivada fazem sentido.

Passo 2

Lembra do teorema fundamental do cálculo (forma útil aqui)? Se f é contínua numa vizinhança e definirmos
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt,
então F é diferenciável e
F'(u)=f(u).
O que isso diz, em palavras simples: a derivada da integral cujo limite superior é a variável é a própria função integranda avaliada naquele ponto. Aqui cada símbolo significa:
  • f(t) é a função integranda (no nosso caso f(t)=\sqrt{\operatorname{sen} t});
  • a é uma constante (pode ser qualquer ponto fixo);
  • u é a variável do limite superior; F'(u) é a derivada de F em relação a u.

Passo 3

Agora adaptamos para o caso em que a variável aparece no limite inferior (como no enunciado). Seja f(t)=\sqrt{\operatorname{sen} t} e defina a função
G(x)=\int_{x}^{3} f(t)\,dt.
Usamos a propriedade básica das integrais:
\int_{x}^{3} f(t)\,dt = -\int_{3}^{x} f(t)\,dt.
Seja F(u)=\int_{3}^{u} f(t)\,dt. Pelas regras do Passo 2 temos F'(u)=f(u). Mas G(x)=-F(x). Portanto, diferenciando:
G'(x) = -F'(x) = -f(x).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso f, temos f(x)=\sqrt{\operatorname{sen} x}. Assim
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{\operatorname{sen} t}\,dt\right) = -\sqrt{\operatorname{sen} x}.
Explicando de forma bem direta: como o limite inferior depende de x, aumentar x reduz a área acumulada, por isso aparece o sinal negativo; o valor que entra é exatamente a integranda avaliada em x.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (mesma ideia, caso mais simples): seja H(x)=\int_{x}^{3} t^2\,dt. Pela mesma razão H'(x)=-x^2. Isso é análogo ao resultado anterior, só que com a integranda t^2.

Resposta

-\sqrt{\operatorname{sen} x}

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