Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada em relação a
da função definida pela integral
Informações dadas:
- A expressão dentro da derivada é a integral de variável inferior
até a constante . - A função integranda é
. - A variável de diferenciação é
.
Observação sobre domínio (apenas para garantir que tudo faça sentido): a fórmula que vamos usar supõe que a integranda seja contínua no intervalo considerado. Paraser real e contínua precisamos que (ou, mais geralmente, que a função seja integrável e suficientemente regular) no intervalo entre e . Vou assumir que o enunciado está formulado dentro desse domínio onde a integral e a derivada fazem sentido.
Passo 2
Lembra do teorema fundamental do cálculo (forma útil aqui)? Se
é contínua numa vizinhança e definirmos
então
é diferenciável e
O que isso diz, em palavras simples: a derivada da integral cujo limite superior é a variável é a própria função integranda avaliada naquele ponto. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função integranda (no nosso caso ); -
é uma constante (pode ser qualquer ponto fixo); -
é a variável do limite superior; é a derivada de em relação a .
Passo 3
Agora adaptamos para o caso em que a variável aparece no limite inferior (como no enunciado). Seja
e defina a função
Usamos a propriedade básica das integrais:
Seja
. Pelas regras do Passo 2 temos
. Mas
. Portanto, diferenciando:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso
, temos
. Assim
Explicando de forma bem direta: como o limite inferior depende de
, aumentar
reduz a área acumulada, por isso aparece o sinal negativo; o valor que entra é exatamente a integranda avaliada em
.
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (mesma ideia, caso mais simples): seja
. Pela mesma razão
. Isso é análogo ao resultado anterior, só que com a integranda
.