Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função integranda é
. - A tarefa é obter um número (o valor da integral definida).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo): usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que para calcular uma integral definida é preciso encontrar uma antiderivada
da função integranda e depois calcular
. Para encontrar a antiderivada vou usar a regra do poder para integrais e a linearidade da integral (posso separar soma/subtração e fatorar constantes). Essas são regras simples e rápidas, perfeitas para fazer sem calculadora.
Passo 3
Linearidade e separação da integral:
Explicação didática: a integral de uma diferença é a diferença das integrais, e uma constante multiplicativa pode ser tirada para fora da integral.
Passo 4
Regra do poder (antiderivada): para
vale
Aplicando a regra para cada termo:
- Para
temos , então
- Para
temos , então
Multiplicando o segundo por
(por causa do fator fora da integral) resulta em
.
Passo 5
Construindo a antiderivada completa
da função inteira:
Verificação rápida: derivando
encontra-se
, que é exatamente a integranda — então
está correta.
Passo 6
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
em
e em
e subtrair.
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Agora a integral é
Passo 7
Interpretação rápida (motiva encorajamento): o valor da integral é
. Isso pode ser visto geometricamente como a área algébrica entre a curva
e o eixo
no intervalo de
a
. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — repetir esse procedimento (separar, antiderivar com a regra do poder e avaliar) funciona para a maioria das integrais polinomiais simples.
Resposta
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