Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de \,3 até \,6.
  • A função integranda é \,x^{2}-2x.
  • A tarefa é obter um número (o valor da integral definida).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo): usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que para calcular uma integral definida é preciso encontrar uma antiderivada F(x) da função integranda e depois calcular F(6)-F(3). Para encontrar a antiderivada vou usar a regra do poder para integrais e a linearidade da integral (posso separar soma/subtração e fatorar constantes). Essas são regras simples e rápidas, perfeitas para fazer sem calculadora.

Passo 3

Linearidade e separação da integral:
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2x\right)\,dx = \int_{3}^{6}x^{2}\,dx - 2\int_{3}^{6}x\,dx.
Explicação didática: a integral de uma diferença é a diferença das integrais, e uma constante multiplicativa pode ser tirada para fora da integral.

Passo 4

Regra do poder (antiderivada): para n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando a regra para cada termo:
  • Para \int x^{2}\,dx temos n=2, então
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Para \int x\,dx temos n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Multiplicando o segundo por 2 (por causa do fator fora da integral) resulta em 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.

Passo 5

Construindo a antiderivada completa F(x) da função inteira:
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}.
Verificação rápida: derivando F(x) encontra-se \,F'(x)=x^{2}-2x, que é exatamente a integranda — então F está correta.

Passo 6

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F em 6 e em 3 e subtrair.
Calcule F(6):
F(6)=\frac{6^{3}}{3}-6^{2}=\frac{216}{3}-36=72-36=36.
Calcule F(3):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-3^{2}=\frac{27}{3}-9=9-9=0.
Agora a integral é
\int_{3}^{6}\left(x^{2}-2x\right)\,dx=F(6)-F(3)=36-0=36.

Passo 7

Interpretação rápida (motiva encorajamento): o valor da integral é 36. Isso pode ser visto geometricamente como a área algébrica entre a curva y=x^{2}-2x e o eixo x no intervalo de 3 a 6. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — repetir esse procedimento (separar, antiderivar com a regra do poder e avaliar) funciona para a maioria das integrais polinomiais simples.

Resposta

36

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