Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações que temos:
- O integrando é o polinômio
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.
Passo 2
Ideia geral (de modo bem prático): para integrar um polinômio podemos aplicar a propriedade da linearidade da integral e integrar termo a termo. A propriedade é:
onde
é constante. Aqui isso permite decompor
Passo 3
Aprendendo a regra básica que vamos usar (regra da potência para primitiva):
Para qualquer número real ,
Para qualquer número real
onde
é a constante de integração. Aqui
é a variável de integração e
é o expoente. Essa fórmula é obtida porque ao derivar
volta-se a
.
Aplicando isso termos a termo:
- Para
: - Para
: - Para
(que é ):
Passo 4
Construindo uma primitiva
do integrando (podemos somar as primitivas dos termos, omitindo a constante única porque vamos avaliar uma integral definida):
Observação: a constante de integração não é necessária para calcular integral definida, porque ela se cancela ao calcular
.
Passo 5
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
Vamos calcular
e
passo a passo.
Calcular
:
Agora os números:
Portanto
Somando
, escrevendo em denominador comum
:
Calcular
:
Então
Passo 6
Comentário final e ânimo: a conta foi só aplicar a regra da potência e avaliar a primitiva nos limites. Se repetir esse procedimento com outros polinômios na prova, segue sempre esses passos: (1) separar termo a termo, (2) aplicar
, (3) montar
e (4) calcular
. Você consegue — respira e segue em frente!