Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right)\,dx.
Informações que temos:
  • O integrando é o polinômio \,x^{3}-x^{2}+1.
  • Os limites de integração são a=0 (limite inferior) e b=4 (limite superior).
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida entre esses limites.

Passo 2

Ideia geral (de modo bem prático): para integrar um polinômio podemos aplicar a propriedade da linearidade da integral e integrar termo a termo. A propriedade é:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx, \qquad \int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\int_{a}^{b}f(x)\,dx,
onde c é constante. Aqui isso permite decompor
\int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right)\,dx = \int_{0}^{4}x^{3}\,dx-\int_{0}^{4}x^{2}\,dx+\int_{0}^{4}1\,dx.

Passo 3

Aprendendo a regra básica que vamos usar (regra da potência para primitiva):
Para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui x é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula é obtida porque ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} volta-se a x^{n}.
Aplicando isso termos a termo:
  • Para x^{3}: \displaystyle \int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C.
  • Para x^{2}: \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Para 1 (que é x^{0}): \displaystyle \int 1\,dx=x+C.

Passo 4

Construindo uma primitiva F(x) do integrando (podemos somar as primitivas dos termos, omitindo a constante única porque vamos avaliar uma integral definida):
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x.
Observação: a constante de integração não é necessária para calcular integral definida, porque ela se cancela ao calcular F(b)-F(a).

Passo 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
\int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right)\,dx=F(4)-F(0).
Vamos calcular F(4) e F(0) passo a passo.
Calcular F(4):
F(4)=\frac{4^{4}}{4}-\frac{4^{3}}{3}+4.
Agora os números:
4^{4}=256,\quad \frac{256}{4}=64.
4^{3}=64,\quad \frac{64}{3}=\frac{64}{3}.
Portanto
F(4)=64-\frac{64}{3}+4.
Somando 64+4=68, escrevendo em denominador comum 3:
68=\frac{204}{3}, \qquad F(4)=\frac{204}{3}-\frac{64}{3}=\frac{140}{3}.
Calcular F(0):
F(0)=\frac{0^{4}}{4}-\frac{0^{3}}{3}+0=0.
Então
\int_{0}^{4}\left(x^{3}-x^{2}+1\right)\,dx=F(4)-F(0)=\frac{140}{3}-0=\frac{140}{3}.

Passo 6

Comentário final e ânimo: a conta foi só aplicar a regra da potência e avaliar a primitiva nos limites. Se repetir esse procedimento com outros polinômios na prova, segue sempre esses passos: (1) separar termo a termo, (2) aplicar \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, (3) montar F(x) e (4) calcular F(b)-F(a). Você consegue — respira e segue em frente!

Resposta

\dfrac{140}{3}

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