Prove o que se pede.
b) Se f é uma função contínua em um contorno C e c é uma constante, em geral complexa, então
b) Se f é uma função contínua em um contorno C e c é uma constante, em geral complexa, então
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
onde são dadas as seguintes informações relevantes:
-
é uma função contínua sobre um contorno . -
é uma constante complexa (ou real) fixa. - A integral
é a integral de linha (integral de contorno) usual em variável complexa.
Nada mais é pedido além de demonstrar que o fator constante pode ser colocado fora da integral.
Passo 2
Definição prática da integral de contorno (essa é a ferramenta que vamos usar). Suponha que o contorno
seja parametrizável por uma função
que é continuamente diferenciável por partes (o que é o caso usual para contornos). Então a integral de
ao longo de
é definida por
Aqui:
-
é a variável real do parâmetro que percorre ; -
é o ponto no plano complexo correspondente ao parâmetro ; -
é a derivada complexa de em relação a ; - o integrando
é uma função complexa de , e a integral do lado direito é uma integral de Riemann (ou de Lebesgue) ao longo de um intervalo real.
Passo 3
Explicação sobre linearidade das integrais de funções complexas (por que podemos “fatorar” uma constante complexa). Uma função complexa
pode ser escrita em termos de suas partes real e imaginária:
com
funções reais. A integral de
é definida componente a componente:
Como as integrais de funções reais têm a propriedade de linearidade (constantes podem ser puxadas para fora), se
é uma constante complexa, então para todo
Portanto, aplicando a linearidade para as partes reais e imaginárias, obtemos
Agrupando os termos isso é exatamente
Assim mostramos que, para qualquer constante complexa
e qualquer função complexa integrável
, vale
Isto é apenas a linearidade da integral aplicada às partes real e imaginária.
Passo 4
Aplicando a propriedade geral ao integrando da integral de contorno. Tome
, que é integrável em
porque
é contínua e
é contínua por partes. Pela propriedade provada no passo anterior, com a mesma constante
,
Passo 5
Volte da parametrização para a notação de contorno. Pelo passo 2 sabemos que as integrais de contorno se expressam pela parametrização, então a igualdade do passo 4 se reescreve exatamente na forma pedida:
Além disso, vale comentar que a hipótese de continuidade de
e de
ser
por partes garante que todos os integrandos são integráveis e que as manipulações acima são válidas.