Prove o que se pede.
b) Se f é uma função contínua em um contorno C e c é uma constante, em geral complexa, então
\int_{C} c f(z) d z=\mathrm{c} \int_{C} f(z) d z

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\int_{C} c\,f(z)\,dz = c \int_{C} f(z)\,dz,
onde são dadas as seguintes informações relevantes:
  • f é uma função contínua sobre um contorno C.
  • c é uma constante complexa (ou real) fixa.
  • A integral \int_C f(z)\,dz é a integral de linha (integral de contorno) usual em variável complexa.
    Nada mais é pedido além de demonstrar que o fator constante pode ser colocado fora da integral.

Passo 2

Definição prática da integral de contorno (essa é a ferramenta que vamos usar). Suponha que o contorno C seja parametrizável por uma função z:[a,b]\to\mathbb{C} que é continuamente diferenciável por partes (o que é o caso usual para contornos). Então a integral de f ao longo de C é definida por
\int_C f(z)\,dz = \int_a^b f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt.
Aqui:
  • t é a variável real do parâmetro que percorre [a,b];
  • z(t) é o ponto no plano complexo correspondente ao parâmetro t;
  • z'(t) é a derivada complexa de z em relação a t;
  • o integrando f(z(t))\,z'(t) é uma função complexa de t, e a integral do lado direito é uma integral de Riemann (ou de Lebesgue) ao longo de um intervalo real.

Passo 3

Explicação sobre linearidade das integrais de funções complexas (por que podemos “fatorar” uma constante complexa). Uma função complexa g(t) pode ser escrita em termos de suas partes real e imaginária:
g(t)=u(t)+i v(t),
com u(t),v(t) funções reais. A integral de g é definida componente a componente:
\int_a^b g(t)\,dt = \int_a^b u(t)\,dt + i\int_a^b v(t)\,dt.
Como as integrais de funções reais têm a propriedade de linearidade (constantes podem ser puxadas para fora), se c=\alpha+i\beta é uma constante complexa, então para todo t
c\,g(t) = (\alpha+i\beta)(u(t)+i v(t)) = (\alpha u(t)-\beta v(t)) + i(\alpha v(t)+\beta u(t)).
Portanto, aplicando a linearidade para as partes reais e imaginárias, obtemos
\int_a^b c\,g(t)\,dt = \int_a^b (\alpha u-\beta v)\,dt + i\int_a^b (\alpha v+\beta u)\,dt = \alpha\int_a^b u\,dt - \beta\int_a^b v\,dt + i\Big(\alpha\int_a^b v\,dt + \beta\int_a^b u\,dt\Big).
Agrupando os termos isso é exatamente
c\left(\int_a^b u\,dt + i\int_a^b v\,dt\right) = c\int_a^b g(t)\,dt.
Assim mostramos que, para qualquer constante complexa c e qualquer função complexa integrável g, vale
\int_a^b c\,g(t)\,dt = c\int_a^b g(t)\,dt.
Isto é apenas a linearidade da integral aplicada às partes real e imaginária.

Passo 4

Aplicando a propriedade geral ao integrando da integral de contorno. Tome g(t)=f\big(z(t)\big) z'(t), que é integrável em [a,b] porque f é contínua e z'(t) é contínua por partes. Pela propriedade provada no passo anterior, com a mesma constante c,
\int_a^b c\,f\big(z(t)\big) z'(t)\,dt = c\int_a^b f\big(z(t)\big) z'(t)\,dt.

Passo 5

Volte da parametrização para a notação de contorno. Pelo passo 2 sabemos que as integrais de contorno se expressam pela parametrização, então a igualdade do passo 4 se reescreve exatamente na forma pedida:
\int_C c\,f(z)\,dz = c\int_C f(z)\,dz.
Além disso, vale comentar que a hipótese de continuidade de f e de z ser C^1 por partes garante que todos os integrandos são integráveis e que as manipulações acima são válidas.

Resposta

\int_{C} c\,f(z)\,dz = c \int_{C} f(z)\,dz

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