Prove o que se pede.
a) Se \mathrm{f}_{1} e \mathrm{f}_{2} são funções contínuas em um contorno C , então
\int_{C}\left[f_{1}(z)+f_{2}(z)\right] d z=\int_{C} f_{1}(z) d z+\int_{C} f_{2}(z) d z

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, dadas duas funções contínuas \mathrm{f}_{1} e \mathrm{f}_{2} definidas num contorno C, vale a igualdade
\int_{C}\bigl[f_{1}(z)+f_{2}(z)\bigr]\,dz=\int_{C}f_{1}(z)\,dz+\int_{C}f_{2}(z)\,dz.
Informações dadas e hipóteses relevantes:
  • \mathrm{f}_{1} e \mathrm{f}_{2} são contínuas em C.
  • C é um contorno (ou seja, admite uma parametrização por uma função z(t) de classe apropriada — peçawise- C^{1} — para que os integrais sejam definidos).
  • Quero provar a propriedade de linearidade da integral de linha complexa para soma de funções.

Passo 2

Parametrização do contorno e definição do integral de linha. Como C é um contorno, existe uma parametrização
z:[a,b]\to\mathbb{C},\qquad t\mapsto z(t)=x(t)+i y(t),
com z contínua e z' contínua por partes (peçawise- C^{1}). Pela definição da integral de linha complexa, para qualquer função f contínua em C temos
\int_{C} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.
Aqui t é a variável real do parâmetro, z(t) é o ponto no plano complexo correspondente ao parâmetro t, e z'(t) é a derivada complexa em t.

Passo 3

Escrevo o integral do lado esquerdo usando a parametrização:
\int_{C}\bigl[f_{1}(z)+f_{2}(z)\bigr]\,dz = \int_{a}^{b}\bigl[f_{1}\bigl(z(t)\bigr)+f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\bigr]\,z'(t)\,dt.
Expliquei: substituí z por z(t) e usei a definição do integral de linha.

Passo 4

Uso a propriedade distributiva da multiplicação complexa para separar a soma dentro do integrando:
\bigl[f_{1}\bigl(z(t)\bigr)+f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\bigr]\,z'(t) = f_{1}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t) + f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t).
Isto é apenas álgebra: multiplicação complexa distribui sobre soma.

Passo 5

Aplico a linearidade da integral real sobre [a,b]. Como as funções f_{1}(z(t))z'(t) e f_{2}(z(t))z'(t) são integráveis (são contínuas por hipóteses), vale
\int_{a}^{b}\bigl[f_{1}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t) + f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\bigr]\,dt = \int_{a}^{b} f_{1}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt \;+\; \int_{a}^{b} f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.
Justificativa: a integral de funções complexas é feita componente real + i vezes componente imaginária, e a integral real é linear; portanto a soma sai da integral exatamente como acima.

Passo 6

Reconheço cada integral parametrizado como os integrais ao longo do contorno para f_{1} e f_{2}:
\int_{a}^{b} f_{1}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt = \int_{C} f_{1}(z)\,dz, \qquad \int_{a}^{b} f_{2}\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt = \int_{C} f_{2}(z)\,dz.
Substituindo na igualdade do Passo 5 obtemos exatamente a igualdade desejada.

Passo 7

Conclusão final (resumo do raciocínio): parametrizamos C, escrevemos a integral do somatório usando a definição, aplicamos distributividade e a linearidade da integral real para separar a soma, e reconhecemos os termos como os integrais individuais. Portanto a propriedade de linearidade está provada.

Resposta

\int_{C}\bigl[f_{1}(z)+f_{2}(z)\bigr]\,dz=\int_{C}f_{1}(z)\,dz+\int_{C}f_{2}(z)\,dz

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