Prove o que se pede.
a) Se
e
são funções contínuas em um contorno C , então
a) Se
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, dadas duas funções contínuas
e
definidas num contorno
, vale a igualdade
Informações dadas e hipóteses relevantes:
-
e são contínuas em . -
é um contorno (ou seja, admite uma parametrização por uma função de classe apropriada — peçawise- — para que os integrais sejam definidos). - Quero provar a propriedade de linearidade da integral de linha complexa para soma de funções.
Passo 2
Parametrização do contorno e definição do integral de linha. Como
é um contorno, existe uma parametrização
com
contínua e
contínua por partes (peçawise-
). Pela definição da integral de linha complexa, para qualquer função
contínua em
temos
Aqui
é a variável real do parâmetro,
é o ponto no plano complexo correspondente ao parâmetro
, e
é a derivada complexa em
.
Passo 3
Escrevo o integral do lado esquerdo usando a parametrização:
Expliquei: substituí
por
e usei a definição do integral de linha.
Passo 4
Uso a propriedade distributiva da multiplicação complexa para separar a soma dentro do integrando:
Isto é apenas álgebra: multiplicação complexa distribui sobre soma.
Passo 5
Aplico a linearidade da integral real sobre
. Como as funções
e
são integráveis (são contínuas por hipóteses), vale
Justificativa: a integral de funções complexas é feita componente real + i vezes componente imaginária, e a integral real é linear; portanto a soma sai da integral exatamente como acima.
Passo 6
Reconheço cada integral parametrizado como os integrais ao longo do contorno para
e
:
Substituindo na igualdade do Passo 5 obtemos exatamente a igualdade desejada.
Passo 7
Conclusão final (resumo do raciocínio): parametrizamos
, escrevemos a integral do somatório usando a definição, aplicamos distributividade e a linearidade da integral real para separar a soma, e reconhecemos os termos como os integrais individuais. Portanto a propriedade de linearidade está provada.