Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{\cos 3 x+3}{\operatorname{sen} 3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos 3x + 3}{\operatorname{sen} 3x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\cos 3x + 3}{\sin 3x}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\cos 3x + 3}{\sin 3x}.
    Vou trabalhar passo a passo, usando identidades trigonométricas básicas e substituições necessárias.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão separando a fração (linearidade da integral):
\frac{\cos 3x + 3}{\sin 3x} = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} + \frac{3}{\sin 3x} = \cot 3x + 3\,\csc 3x.
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais mais simples:
\int \frac{\cos 3x + 3}{\sin 3x}\,dx = \int \cot 3x\,dx + 3\int \csc 3x\,dx.

Passo 3

Vou lembrar as primitivas padrões que vou usar e justificar por que elas valem.
  • Para \int \cot u\,du: como \cot u=\dfrac{\cos u}{\sin u}, a derivada de \ln|\sin u| é
\frac{d}{du}\ln|\sin u|=\frac{\cos u}{\sin u}=\cot u.
Logo
\int \cot u\,du=\ln|\sin u|+C.
  • Para \int \csc u\,du: uma prova rápida usa a função \csc u-\cot u. Calcula-se
\frac{d}{du}(\csc u-\cot u)=-\csc u\cot u+\csc^2 u=\csc u(\csc u-\cot u).
Daí
\frac{d}{du}\ln|\csc u-\cot u|=\frac{\csc u(\csc u-\cot u)}{\csc u-\cot u}=\csc u,
portanto
\int \csc u\,du=\ln|\csc u-\cot u|+C.
(Alternativamente pode-se usar \ln|\tan(u/2)|, pois \csc u-\cot u=\tan(u/2).)

Passo 4

Agora aplico essas fórmulas com a substituição u=3x quando necessário (cadeia).
Para a primeira integral:
\int \cot 3x\,dx.
Tomando u=3x temos du=3\,dx ou dx=\dfrac{du}{3}. Então
\int \cot 3x\,dx=\frac{1}{3}\int \cot u\,du=\frac{1}{3}\ln|\sin u|+C =\frac{1}{3}\ln|\sin 3x|+C.
Para a segunda integral:
3\int \csc 3x\,dx.
De novo com u=3x e dx=\dfrac{du}{3},
\int \csc 3x\,dx=\frac{1}{3}\int \csc u\,du=\frac{1}{3}\ln|\csc u-\cot u|+C =\frac{1}{3}\ln|\csc 3x-\cot 3x|+C.
Multiplicando por 3 (fator que estava fora da integral) obtemos
3\int \csc 3x\,dx = 3\cdot\frac{1}{3}\ln|\csc 3x-\cot 3x| = \ln|\csc 3x-\cot 3x|+C.

Passo 5

Somando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma só C):
\int \frac{\cos 3x + 3}{\sin 3x}\,dx = \frac{1}{3}\ln|\sin 3x| + \ln|\csc 3x - \cot 3x| + C.
Opcionalmente, usando \csc 3x-\cot 3x=\tan\!\left(\dfrac{3x}{2}\right), uma forma equivalente é
\frac{1}{3}\ln|\sin 3x| + \ln\left|\tan\!\left(\frac{3x}{2}\right)\right| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln|\sin 3x|+\ln|\csc 3x-\cot 3x|+C

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