Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que .
Vou trabalhar passo a passo, usando identidades trigonométricas básicas e substituições necessárias.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão separando a fração (linearidade da integral):
Portanto a integral se escreve como soma de duas integrais mais simples:
Passo 3
Vou lembrar as primitivas padrões que vou usar e justificar por que elas valem.
- Para
: como , a derivada de é
Logo
- Para
: uma prova rápida usa a função . Calcula-se
Daí
portanto
(Alternativamente pode-se usar
, pois
.)
Passo 4
Agora aplico essas fórmulas com a substituição
quando necessário (cadeia).
Para a primeira integral:
Tomando
temos
ou
. Então
Para a segunda integral:
De novo com
e
,
Multiplicando por
(fator que estava fora da integral) obtemos
Passo 5
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes em uma só
):
Opcionalmente, usando
, uma forma equivalente é