Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas (apenas reescritas do enunciado):
- A função a integrar é
. - Trata-se de uma integral indefinida (pedem uma primitiva, com constante de integração).
Passo 2
Idea útil (identidade trigonométrica que facilita): usar a fórmula de ângulo duplo/semidobra. Defina
As identidades relevantes são:
Da segunda identidade segue que
Aqui a ideia é transformar numerador e denominador em funções de
e
para simplificar a fração.
Passo 3
Substituindo essas expressões na fração da integral:
Portanto a integranda simplifica para
.
Passo 4
Reescrevendo a integral com essa simplificação:
Agora usamos substituição para lidar com o argumento
. Seja
Então a integral vira
Passo 5
Precisamos conhecer a primitiva de
. Uma observação rápida:
Portanto
(A presença do valor absoluto garante que a primitiva seja válida quando
muda de sinal.)
Passo 6
Voltando ao cálculo:
Substituindo
de volta:
Opcionalmente pode-se escrever de forma equivalente
já que
.
Passo 7
Cheque rápido (diferenciação) para ter confiança: derive
.
Pela regra da cadeia:
Pela regra da cadeia:
que, como mostrado no Passo 3, é igual a
. Logo a primitiva está correta.