Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{\operatorname{sen} 3 t}{\cos 3 t-1} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin 3t}{\cos 3t - 1}\,dt.
Informações dadas (apenas reescritas do enunciado):
  • A função a integrar é \dfrac{\sin 3t}{\cos 3t - 1}.
  • Trata-se de uma integral indefinida (pedem uma primitiva, com constante de integração).

Passo 2

Idea útil (identidade trigonométrica que facilita): usar a fórmula de ângulo duplo/semidobra. Defina
a=\frac{3t}{2}.
As identidades relevantes são:
\sin 3t = \sin(2a) = 2\sin a\cos a,
\cos 3t = \cos(2a) = 1-2\sin^2 a.
Da segunda identidade segue que
\cos 3t - 1 = (1-2\sin^2 a)-1 = -2\sin^2 a.
Aqui a ideia é transformar numerador e denominador em funções de \sin a e \cos a para simplificar a fração.

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração da integral:
\frac{\sin 3t}{\cos 3t - 1} = \frac{2\sin a\cos a}{-2\sin^2 a} = -\frac{\cos a}{\sin a} = -\cot a.
Portanto a integranda simplifica para -\cot\!\bigl(\tfrac{3t}{2}\bigr).

Passo 4

Reescrevendo a integral com essa simplificação:
\int \frac{\sin 3t}{\cos 3t - 1}\,dt = \int -\cot\!\left(\frac{3t}{2}\right)\,dt.
Agora usamos substituição para lidar com o argumento \tfrac{3t}{2}. Seja
u=\frac{3t}{2}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{3}{2}\,dt\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{2}{3}\,du.
Então a integral vira
\int -\cot\!\left(\frac{3t}{2}\right)\,dt = -\frac{2}{3}\int \cot u\,du.

Passo 5

Precisamos conhecer a primitiva de \cot u. Uma observação rápida:
\frac{d}{du}\ln\bigl|\sin u\bigr|=\frac{\cos u}{\sin u}=\cot u.
Portanto
\int \cot u\,du = \ln\bigl|\sin u\bigr| + C.
(A presença do valor absoluto garante que a primitiva seja válida quando \sin u muda de sinal.)

Passo 6

Voltando ao cálculo:
-\frac{2}{3}\int \cot u\,du = -\frac{2}{3}\ln\bigl|\sin u\bigr| + C.
Substituindo u=\dfrac{3t}{2} de volta:
-\frac{2}{3}\ln\left|\sin\left(\frac{3t}{2}\right)\right| + C.
Opcionalmente pode-se escrever de forma equivalente
\frac{2}{3}\ln\left|\csc\left(\frac{3t}{2}\right)\right| + C,
já que \ln|\csc x| = -\ln|\sin x|.

Passo 7

Cheque rápido (diferenciação) para ter confiança: derive F(t)=-\dfrac{2}{3}\ln\bigl|\sin(\tfrac{3t}{2})\bigr|.
Pela regra da cadeia:
F'(t)=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sin(\tfrac{3t}{2})}\cdot\cos\left(\tfrac{3t}{2}\right)\cdot\frac{3}{2} =-\frac{\cos(\tfrac{3t}{2})}{\sin(\tfrac{3t}{2})}=-\cot\left(\tfrac{3t}{2}\right),
que, como mostrado no Passo 3, é igual a \dfrac{\sin 3t}{\cos 3t - 1}. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}\ln\left|\sin\left(\dfrac{3t}{2}\right)\right| + C

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