Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida. \int \frac{x}{2-x^{2}} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{2-x^{2}}\,dx.
Informações relevantes: é uma integral indefinida em relação à variável x; não há outros dados (constantes, limites etc.). A resposta deve ser uma primitiva (função cujo derivada é a integranda), mais uma constante de integração C.
Passo 2
Observação que guia a escolha do método (aqui só para justificar a substituição): a derivada do denominador 2-x^{2} em relação a x é \dfrac{d}{dx}(2-x^{2})=-2x. Note que o numerador é x, que aparece proporcional a essa derivada. Quando a derivada do denominador aparece (até constante) no numerador, uma boa técnica é fazer a substituição u igual ao denominador para transformar a integral em uma forma simples.
Passo 3
Definir a substituição e transformar a integral passo a passo.
Defina
u = 2 - x^{2}.
Então a diferencial du é
du = \frac{d}{dx}(2-x^{2})\,dx = -2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original: onde aparece 2-x^{2} usamos u, e onde aparece x\,dx usamos -\tfrac{1}{2}du. Assim
Observações finais e dicas para a prova: quando vir uma razão com um polinômio no denominador e no numerador aparece algo proporcional à derivada do denominador, pense imediatamente em u-substituição. Não esqueça o valor absoluto dentro do logaritmo e a constante de integração C. Você consegue!