Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{x}{2-x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{2-x^{2}}\,dx.
Informações relevantes: é uma integral indefinida em relação à variável x; não há outros dados (constantes, limites etc.). A resposta deve ser uma primitiva (função cujo derivada é a integranda), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Observação que guia a escolha do método (aqui só para justificar a substituição): a derivada do denominador 2-x^{2} em relação a x é \dfrac{d}{dx}(2-x^{2})=-2x. Note que o numerador é x, que aparece proporcional a essa derivada. Quando a derivada do denominador aparece (até constante) no numerador, uma boa técnica é fazer a substituição u igual ao denominador para transformar a integral em uma forma simples.

Passo 3

Definir a substituição e transformar a integral passo a passo.
Defina
u = 2 - x^{2}.
Então a diferencial du é
du = \frac{d}{dx}(2-x^{2})\,dx = -2x\,dx.
Isolando x\,dx obtemos
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original: onde aparece 2-x^{2} usamos u, e onde aparece x\,dx usamos -\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{x}{2-x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Integrar a expressão em u. Lembrando a fórmula básica
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
porque a derivada de \ln|u| é 1/u (o valor absoluto é necessário para cobrir casos em que u é negativo). Aplicando isso,
-\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = -\frac{1}{2}\ln|u| + C.

Passo 5

Voltar para a variável original x substituindo u = 2 - x^{2}. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{1}{2}\ln\bigl|2 - x^{2}\bigr| + C.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): derivando a resposta para checar se volta para a integranda.
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2}\ln\bigl|2 - x^{2}\bigr|\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2-x^{2}}\cdot(-2x) = \frac{x}{2-x^{2}},
que é exatamente a integranda. Tudo certo.

Passo 7

Observações finais e dicas para a prova: quando vir uma razão com um polinômio no denominador e no numerador aparece algo proporcional à derivada do denominador, pense imediatamente em u-substituição. Não esqueça o valor absoluto dentro do logaritmo e a constante de integração C. Você consegue!

Resposta

-\dfrac{1}{2}\ln\bigl|2 - x^{2}\bigr| + C

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